Enumerazione di $p^a q^b$
Inviato: 25 mag 2013, 21:52
Sia $\mathcal S _{a,b} := \left \{ p^a q^b : a, b \in \mathbb N \right \}$ con $p$ e $q$ interi coprimi, e ordiniamo gli elementi di $\mathcal S_{a,b}$ come $x_1< x_2< \dots$. Dimostrare che
\[ x_n \sim \frac 1 {\sqrt {pq}} e^{\sqrt{(2 \log p \log q)n}} .\]
Bonus. DImostrare che nel caso generale con $k$ numeri $p_1, p_2, \dots, p_k$ invece di $p$ e $q$, vale
\[ x_n \sim \frac 1 {\sqrt {\prod_i p_i}} e^{\sqrt[k]{(k! \prod_i \log p_i)n}} . \]
\[ x_n \sim \frac 1 {\sqrt {pq}} e^{\sqrt{(2 \log p \log q)n}} .\]
Bonus. DImostrare che nel caso generale con $k$ numeri $p_1, p_2, \dots, p_k$ invece di $p$ e $q$, vale
\[ x_n \sim \frac 1 {\sqrt {\prod_i p_i}} e^{\sqrt[k]{(k! \prod_i \log p_i)n}} . \]