Dato il triangolo $\triangle ABC$, sia $O$ il suo circocentro e $I$ l'incentro. Siano $A_0$, $B_0$, $C_0$ i punti medi delle altezze $AH$, $BK$, $CL$, rispettivamente. Siano infine $D$, $E$, $F$ i punti di tangenza dell'incerchio con i lati $BC$, $CA$, $AB$, rispettivamente. Dimostrare che le rette $A_0D$, $B_0E$, $C_0F$ e $OI$ concorrono.
(Quando $O=I$, si consideri $OI$ come una generica retta passante per $O$)
59. Un problema più fantasioso del titolo
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Ido Bovski
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Re: 59. Un problema più fantasioso del titolo
Chiamo $I_a,I_b,I_c$ i centri delle circonferenze exscritte a ABC. Per prima cosa noto che $A_0$, D, $I_a$ e ciclici sono allineati (lo devo ancora dimostrare non è che potresti darmi un hint 
), quindi basta dimostrare che $DI_a$ e ciclici concorrono. Ma ciò si vede facilmente dal fatto che DEF e $I_aI_bI_c$ sono omotetici (basta calcolare gli angoli e vedere che hanno i lati paralleli) e quindi $DI_a$ e ciclici si incontrano nel centro di tale omotetia che chiamo P. Ora per dimostrare che OI concorre con le altre rette osserviamo che I è l'ortocentro di $I_aI_bI_c$, I è il circocentro di DEF e O è il centro della circonferenza di Feuerbach di $I_aI_bI_c$, quindi il circocentro di $I_aI_bI_c$ è il simmetrico di I rispetto ad O. A questo punto l'omotetia che manda DEF in $I_aI_bI_c$ manda I nel circocentro di $I_aI_bI_c$ (che chiamo Q), dunque Q,I e P sono allineati, ma O si trova sulla retta QI e quindi O,I e P sono allineati, che è la nostra tesi.
), quindi basta dimostrare che $DI_a$ e ciclici concorrono. Ma ciò si vede facilmente dal fatto che DEF e $I_aI_bI_c$ sono omotetici (basta calcolare gli angoli e vedere che hanno i lati paralleli) e quindi $DI_a$ e ciclici si incontrano nel centro di tale omotetia che chiamo P. Ora per dimostrare che OI concorre con le altre rette osserviamo che I è l'ortocentro di $I_aI_bI_c$, I è il circocentro di DEF e O è il centro della circonferenza di Feuerbach di $I_aI_bI_c$, quindi il circocentro di $I_aI_bI_c$ è il simmetrico di I rispetto ad O. A questo punto l'omotetia che manda DEF in $I_aI_bI_c$ manda I nel circocentro di $I_aI_bI_c$ (che chiamo Q), dunque Q,I e P sono allineati, ma O si trova sulla retta QI e quindi O,I e P sono allineati, che è la nostra tesi.-
Ido Bovski
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Re: 59. Un problema più fantasioso del titolo
L'hint per fatto mancante è: i punti $A$, $D$ e il simmetrico rispetto a $I_a$ del punto di contatto dell' $A$-excerchio con $BC$ sono allineati.
Re: 59. Un problema più fantasioso del titolo
Dimostro il tuo hint:
Chiamo J il punto di tangenza dell'A-excerchio con BC e J' il suo punto diametralmente opposto (sempre all'interno dell'A-excerchio). La tangente per J' è parallela a BC e questa incontra AB in B' e AC in C'. I due triangoli ABC e AB'C' sono omotetici con centro di omotetia A. Quest'omotetia manda la circonferenza inscritta ad ABC nell'A-excerchio e dato che la circonferenza inscritta a BC tocca quest'ultimo in D il suo trasformato sarà J' (l'omotetia conserva le intersezioni) e dunque A,D e J' sono allineati.
Ora ?
Chiamo J il punto di tangenza dell'A-excerchio con BC e J' il suo punto diametralmente opposto (sempre all'interno dell'A-excerchio). La tangente per J' è parallela a BC e questa incontra AB in B' e AC in C'. I due triangoli ABC e AB'C' sono omotetici con centro di omotetia A. Quest'omotetia manda la circonferenza inscritta ad ABC nell'A-excerchio e dato che la circonferenza inscritta a BC tocca quest'ultimo in D il suo trasformato sarà J' (l'omotetia conserva le intersezioni) e dunque A,D e J' sono allineati.
Ora ?
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Ido Bovski
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Re: 59. Un problema più fantasioso del titolo
Beh, ora hai finito. Se hai una retta e un po' di punti allineati nel piano, allora anche i punti medi tra un punto e la proiezione ortogonale di questo sulla retta sono allineati, no? Qual è la retta nel nostro caso?
Re: 59. Un problema più fantasioso del titolo
BC credo. Però bo non mi pare cosi evidente questo fatto...
Re: 59. Un problema più fantasioso del titolo
Ok ora mi è evidente xD pardon 
basta prendere i triangoli AHD e JJ'D che sono simili e i triangoli A_0HD e JI_aD che sono simili solo se lo sono i precedenti xD
basta prendere i triangoli AHD e JJ'D che sono simili e i triangoli A_0HD e JI_aD che sono simili solo se lo sono i precedenti xD-
Ido Bovski
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Re: 59. Un problema più fantasioso del titolo
A te il testimone 
Per chi non lo sapesse, giusto così, per la cronaca, il punto che mat94 ha chiamato P ha un nome, click.
Per chi non lo sapesse, giusto così, per la cronaca, il punto che mat94 ha chiamato P ha un nome, click.