Disequazione con il \(\pi\)

[Gottinger95]

Sia \(n \in \mathbb{N} \) e \(\displaystyle m = \frac{1}{2^n}\). Infine, sia \(x \in \mathbb{R}\) con \(0 < x < 1\).
Dimostrare che vale:

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(x^k k^2)^m}{k^2} }< \left( \frac{\pi}{\sqrt{6} } \right) ^n \ \ \left( \frac{x}{1-x} \right) ^m \)

Oeh, dai, questo l'ho fatto io! Non fate che non se lo caga nessuno per settimane

[Gottinger95]

E alla fine la profezia si avverò...

[Simo_the_wolf]

Metto invisibile per non spoilerare:

Testo nascosto:

Uso Holder con $p=1/m$ e $q=1/(1-m)$, allora so che

$$ \sum_{k=1}^{\infty} x^{km} \Bigl( \frac 1{k^2} \Bigr)^{1-m} \leq \left( \sum_{k=1}^{\infty} x^k \right)^m \left( \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1{k^2} \right)^{1-m} =\left( \frac x{1-x} \right)^m \left( \frac {pi}{\sqrt{6}} \right)^{2-2m}$$
e si finisce osservando che $2-2 \cdot 2^{-n} \leq n$ e che $\frac {pi}{\sqrt{6}}>1$.

[Gottinger95]

Carino così! Io invece avevo questa soluzione:

Testo nascosto:

Data una successione \(\{a_n\}\) tale che \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} {a_k} < L \), ho per Cauchy Schwartz che
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} {\frac{\sqrt{a_k}}{k} } \leq \sqrt{ \left( \sum_{k=1}^{\infty} { a_k } \right) \left(\sum_{k=1}^{\infty} {\frac{1}{k^2} } \right) } < \sqrt{L} \frac{\pi}{\sqrt{6}}\)

dove nel secondo passaggio ho usato che \(\zeta(2) = \pi^2 / 6 \). Partendo dalla serie \( a_i = x^i\) e applicando il passo \(n\) volte, si ottiene la tesi. Penso che però con un po' di fantasia sulla serie iniziale si possa ottenere qualcosa di più carino