Oeh, dai, questo l'ho fatto io! Non fate che non se lo caga nessuno per settimane
Re: Disequazione con il \(\pi\)
Inviato: 07 giu 2013, 20:40
da Gottinger95
E alla fine la profezia si avverò...
Re: Disequazione con il \(\pi\)
Inviato: 10 giu 2013, 23:03
da Simo_the_wolf
Metto invisibile per non spoilerare:
Testo nascosto:
Uso Holder con $p=1/m$ e $q=1/(1-m)$, allora so che
$$ \sum_{k=1}^{\infty} x^{km} \Bigl( \frac 1{k^2} \Bigr)^{1-m} \leq \left( \sum_{k=1}^{\infty} x^k \right)^m \left( \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1{k^2} \right)^{1-m} =\left( \frac x{1-x} \right)^m \left( \frac {pi}{\sqrt{6}} \right)^{2-2m}$$
e si finisce osservando che $2-2 \cdot 2^{-n} \leq n$ e che $\frac {pi}{\sqrt{6}}>1$.
Re: Disequazione con il \(\pi\)
Inviato: 12 giu 2013, 08:24
da Gottinger95
Carino così! Io invece avevo questa soluzione:
Testo nascosto:
Data una successione \(\{a_n\}\) tale che \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} {a_k} < L \), ho per Cauchy Schwartz che
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} {\frac{\sqrt{a_k}}{k} } \leq \sqrt{ \left( \sum_{k=1}^{\infty} { a_k } \right) \left(\sum_{k=1}^{\infty} {\frac{1}{k^2} } \right) } < \sqrt{L} \frac{\pi}{\sqrt{6}}\)
dove nel secondo passaggio ho usato che \(\zeta(2) = \pi^2 / 6 \). Partendo dalla serie \( a_i = x^i\) e applicando il passo \(n\) volte, si ottiene la tesi. Penso che però con un po' di fantasia sulla serie iniziale si possa ottenere qualcosa di più carino