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Siano dati tre interi a,b,c con a pari e b dispari. Mostrare che per ogni intero positivo n, esiste un intero positivo x tale che \[2^n \mid ax^2+bx+c. \]

provo per induzione su $ n \in \mathbb{N} $

Sì, funziona.

Mi è venuta un'idea che non passa per l'induzione, vediamo un po' se funziona...
La tesi è
$ax^2+b x \equiv -c\pmod 2^n$
Cioè fissati a e b posso scegliere x in modo da ottenere tutte le classi di resto modulo $2^n$.
Ci sono fondamentalmente $2^n$ modi diversi di prendere x: se prendo due x diversi ma congrui modulo $2^n$, allora ottengo la stessa classe di resto, quindi posso sceglierlo nelle $2^n$ classi di resto. Ma allora tutte le classi di resto con cui posso prendere x mi devono dare classi di resto differenti.
Per dimostrarlo, scelgo $x$ e $y$, tali che $ax^2+bx\equiv ay^2+by\equiv -c \pmod{ 2^n}$ e dimostro che $x \equiv y \pmod {2^n}$, cioè che se ottengo con due numeri la stessa classe di resto, allora sono congrui.In questo modo, x mi genera tutte le classi possibili.
Ho che $2^n\mid ax^2+bx-ay^2-by=(a(x+y)+b)(x-y)$. Il primo fattore è sicuramente dispari per le ipotesi, quindi $2^n\mid x-y$, da cui la tesi.
Spero che il ragionamento fili...

Bene, funziona anche questa (Usa le graffe quando devi scrivere modulo di qualcosa che è piu' lungo di una cifra, e.g. $\pmod{2^{23n}}$)

Come mi ha osservato dario2994 via pm, è un semplice corollario di un Lemma noto, apparso già sul forum:

"Siano $p$ un primo e $f(x)$ un polinomio a coefficienti interi. Se $a$ è un intero tale che $ f(a)\equiv 0 \pmod p $ e $ f'(a)\not\equiv 0\pmod p $ allora per ogni intero positivo $n$ esiste un intero $ a_n $ tale che $ f(a_n)\equiv 0\pmod {p^n} $"