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Buongiorno,
di recente sono venuto a contatto con la disuguaglianza di raggruppamento o bunching e mi è venuto un dubbio, se ho due polinomi simmetrici che non rispettano il bunching si può stabilire quale sia il maggiore?
Esempio:
$ \sum_{sym}a^5b^2c^2\qquad\qquad \sum_{sym}a^4b^4c $

Qual'è il maggiore dei due?

No, in generale non è possibile, ed è possibile anche che non ce ne sia uno che è sempre maggiore dell'altro. Considera proprio l'esempio che fai tu: se prendi la terna $(M,1,1)$ per $M$ molto grande, il primo termine è circa $2M^5$ mentre il secondo è circa $4M^4$, quindi vince il primo. Se prendi la terna $(1,1,1/M)$, sempre con $M$ molto grande, allora il primo vale circa $4/M^2$ e il secondo vale circa $2/M$, quindi vince il secondo. (nota: potrei aver scazzato qualcuno dei coefficienti 2 e 4 perché non ci ho pensato molto, ma l'idea è quella).

Grazie mille

Altre due domande: il bunching, è un "se e solo se" oppure può succedere che la disuguaglianza sia sempre maggiore ma il bunching non valga?
Inoltre: è valido anche per esponenti negativi?

Sul se e solo se, non ti so dire al volo. Sugli esponenti negativi la risposta è sì: difatti ti basta moltiplicare tutto per $a^{\text{tanto}}b^{\text{tanto}}c^{\text{tanto}}$ e ti riconduci al caso positivo.

Il "solo se" è inutile quando si tratta di fare una disuguaglianza, anche se credo sia vero. Spesso, quando tenti la trada per Bunching, cioè quando svolgi tutti i conti e scrivi con le somme simmetriche, compaiono tante volte diverse somme non simili e non riesci a dimostrare la disuguaglianza con questo teorema perché non ne sa gestire più d'una alla volta.
Esempio: dimostra che $$\sum_{sym}x^3+\sum_{sym}xyz \geq 2\sum_{sym} x^2y,$$ con $x,y,z$ positivi. Il bunching non ce la fa. In questi casi una disuguaglianza "più forte", e quindi più utile, è Schur.

ok, grazie mille