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Own (semplice ma carino). Sia \(W(n)\) la massima differenza fra due primi consecutivi minori di \(n\). Dimostrare che \(W(n)\) non ha limite superiore.

Se sai anche la definizione di limite superiore, pare simpatico che abbia definito own l'esercizio

Tanto per non rendere inutile il post:
Mostrare che per ogni $0<\varepsilon<1$ esiste una costante positiva $C\ge 3$ tale che per ogni $n\ge C$ esistono due primi consecutivi $2\le p_1 < p_2 \le n$ che verificano:
\[ p_2 - p_1 \ge \left(\ln n\right)^\varepsilon . \]

Ps. Ci sono tantissimi articoli che trattano stime sulla differenza di primi consecutivi, questa è solo una versione molto semplificata..

jordan ha scritto: Mostrare che per ogni $0<\varepsilon<1$ esiste una costante positiva $C\ge 3$ tale che per ogni $n\ge C$ esistono due primi $2\le p_1 < p_2 \le n$ che verificano:
\[ p_2 - p_1 \ge \left(\ln n\right)^\varepsilon . \]

Aggiungo: "senza usare il teorema dei numeri primi"! Altrimenti quella stima ce l'hai anche senza $\varepsilon$! Inoltre è meglio specificare che $p_1$ e $p_2$ sono consecutivi, se no $p_1=2$ e $p_2=p_{\pi(n)}$...

P.S. A quanto ne so il miglior risultato noto finora è di Rankin: \[ p_{n+1}-p_n \geq (e^\gamma-\varepsilon) \log p_n \log \log p_n \log \log \log \log p_n (\log \log \log p_n)^{-2} \] infinite volte (anche se non implica comunque la tesi del problema).

Si, senza il PNT, e senza neanche approssimazioni di Stirling e roba varia; è una stima completamente elementare (se mi dici che addirittura quella di sopra non implica la mia, allora la devo ricontrollare, che fare i conti all'una di notte non è molto indicato..)

Ps. Hai ragione, devono essere consecutivi, altrimenti diventa banale: considerato il Postulato di Bertrand, vale $\max_{2\le p_2 < p_1 \le n}{\left(p_2-p_1\right)} \ge \frac{n}{2}-2$, con $C\ge 6$..

No, più semplicemente perché dipende da $p_k$ e la tua da $n$, ma ora che mi ci fai pensare si può convertire in una stima in funzione di $n$ con Bertrand

Il risultato di Rankin assicura che quella disuguaglianza risulta verificata per infiniti valori di $n$, non tutti; se non fosse così, mostrerebbe che i primi gemelli sono in numero finito Comunque si' , Bertand o PNT nella forma $p_n \sim n\ln n$, possono "convertire" quelle stime. Qui invece c'è un po' di tutto: quello che si sta cercando è un lower bound su $G(N)$; la congettura piu' recente pare
\[ G(N) \sim (\ln N)^2 \]
che, per quanto scema, è abbastanza simile alla mia

Intendevo primi consecutivi. Scusate se non sapevo che era scontato che non ci fosse limite alla differenza tra due primi consecutivi! Però non c'è bisogno di arrabbiarsi, eh.. .
In ogni caso, chissà perchè già immaginavo di non aver trovato un fatto rivoluzionario riguardo alla distribuzione dei numeri primi