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Problema tratto da Cesenatico 1995.

In una città ci sono quattro pub, A, B, C, D e ciascuno di essi è connesso a ogni altro pub ad eccezione di A e D che sono connessi con B e C ma non tra di loro. Un ubriacone vaga per i vari pub partendo da A e dopo essersi fatto un drink va su un qualsiasi pub adiacente, con uguale probabilità nella scelta di andare su l'uno o l'altro pub.
(a) qual'è la probabilità che l'ubriacone si trovi in C alla quinta bevuta?
(b) dov'è più probabile che si trovi l'ubriacone dopo n drink (n > 5)?

Direi che il metodo migliore per risolvere questo problema è trovare nella città quattro pub con le caratteristiche sopra descritte e vedere la mattina dove ci si trova!

Testo originale in lingua inglese

Definisco \(E(n) = B(n)+C(n)\) la somma delle probabilità che dopo \(n\) cambi di pub si trovi in \(B\) o in \(C\), e similmente definisco \(F(n)=A(n)+D(n)\).
Notiamo che, fatta eccezione per \(n=0\) in cui \(A(0)=1\) e \(D(0)=0\), per il resto \(A(n) = D(n)\): infatti, dopo che l'ubriacone si trova in \(B\) o in \(C\) al primo cambio, ha le stesse probabilità di andare a finire in \(A\) o in \(D\) al secondo. Analogamente abbiamo \(B(n)=C(n)\). Immaginando che il grafo \(ABCD\) sia un quadrato senza il lato \(AD\), si vede che i punti \(A,B\) sono completamente simmetrici a \(C,D\) rispetto all'asse di \(BC\). Perciò ci basta trovare \(E(n), F(n)\), dunque dividere per 2. Abbiamo:
\(
\begin{cases}
E(n) & = & (2/3) F(n-1)+(1/3) E(n-1) \\
F(n) & = & E(n-1) \\
\end{cases}
\)
da cui
\( E(n) =( 2/3) E(n-2) + (1/3) E(n-1)\)
Esaminando il polinomio caratteristico abbiamo \(3x^2-x-2=0\), da cui \(x_{1,2} = (1\pm\sqrt{1+24})/6 = 1,-2/3\). Perciò \(E(n) = a+b(-2/3)^n\) per opportuni \(a,b\).
Con il solito sistema si trovano gli \(a,b\): ponendo \(E(0)=0, E(1)=1\), otteniamo \(E(n) = (3/5)[1-(2/3)^n]\), da cui \(F(n) = (3/5)[1-(2/3)^{n-1}] \).
Per le considerazioni di equiprobabilità abbiamo \(A(n) = D(n) = F(n) / 2 = (3/10)[1-(2/3)^{n-1}], \ \ B(n) = C(n) = E(n)/2 = (3/10)[1-(2/3)^n]\).
Per il caso speciale si ha \(C(5) = 211 / 810\), che è tipo \(1/4\).

Non dovrebbe essere
\begin{cases} E(n) & = & F(n-1)+(1/3) E(n-1) \\ F(n) & = & (2/3)E(n-1) \\ \end{cases}?
Impostando così il problema e utilizzando il tuo stesso metodo risolutivo ottengo \(A(5) = \frac{13}{81}\)
Inoltre per \(n > 5\) è più probabile che l'ubriacone si trovi in B o in C e per \(n \to \infty\) la probabilità di trovarsi in B o in C è massima ed è pari a 0.3

Si, hai ragione. Sto un po' fuso questi giorni, manco le ricorrenze xD