OliForum Matematico

scambret ha scritto:I $p$ giorni sono passati.. metto la mia come testo nascosto, cosi se qualcuno ha metodi più carini..

Testo nascosto:

Risolviamo intanto $$x^2+x=2(2p^3-3p+1)$$

A mano si testano $p =\{2,3,5 \}$ che non danno soluzioni, quindi $p \geq 7$

Ora,possiamo far diventare il testo $$(x+2)(x-1)=2p(2p^2-3)$$

quindi distinguo due casi molto simili:

1) $p \mid x-1$

in questo caso $x-1=kp$ e $x+2=kp+3$. Mettiamo tutto nel testo e ottengo $k(kp+3)=2(2p^2-3)$. Modulo $p$ ottengo $3k+6 \equiv 0 \pmod p$ e dato che $(3,p)=1$ allora $k=ap-2$ con $a \geq 1$. Rimettiamo l'ultima cosa trovata e otteniamo $(ap-2)(ap^2-2p+3)=2(2p^2-3)$. Ora se $a \geq 2$ e ricordando che $p \geq 7$ abbiamo una disuguaglianza larghissima, cioè $2(2p^2-3)=(ap-2)(ap^2-2p+3) \geq (2p-2)(2p^2-2p+3) \geq 12(2p^2-2p+3)$ e quindi $2p^2-3 \geq 12p^2-12p+18$ che non è mai verificata. Perciò $k=p-2$. Anche qui $(p-2)(p^2-2p+3)=2(2p^2-3)$ e di nuovo $p-2 \geq 5$ quindi $2(2p^2-3)=(p-2)(p^2-2p+3) \geq 5p^2-10p+15$ e quindi $4p^2-6 \geq 5p^2-10p+15$ e quindi $p =\{3,5,7 \}$ ma dato che $p \geq 7$, allora l'unico $p$ che potrebbe funzionare è $p=7$ che da $k=5$, $x=36$ e $n=666$.

2) $p \mid x+2$

in questo caso $x-1=kp-3$ e $x+2=kp$. Mettiamo tutto nel testo e ottengo $k(kp-3)=2(2p^2-3)$. Modulo $p$ ottengo $3k-6 \equiv 0 \pmod p$ e dato che $(3,p)=1$ allora $k=ap+2$ con $a \geq 0$. Rimettiamo l'ultima cosa trovata e otteniamo $(ap+2)(ap^2+2p-3)=2(2p^2-3)$. Se valesse $a=0$ ottengo banalmente $p = \{0,1 \}$ che è impossibile. Perciò $a \geq 1$. Con $a \geq 1$ e usando il fatto che $p+2 \geq 9$ ottengo $2(2p^2-3)=(ap+2)(ap^2+2p-3) \geq (p+2)(p^2+2p-3) \geq 9(p^2+2p-3)$ e quindi $4p^2-6 \geq 9p^2+18p-27$, ma anche questa è banalmente non verificata.