OliForum Matematico

Siano dati tre cerchi congruenti nel piano. Sia $S_1$ la somma delle aree delle regioni coperte da esattamente un cerchio, e $S_2$ da due cerchi. Dimostrare che $S_1 \geq S_2$.

Sarà colpa mia, ma la domanda mi sembra mal definita.
Cosa intendi per regioni coperte esattamente da un cerchio, la parte di piano comune tra un cerchio e ciascuno degli altri due ?

Siano $\mathcal C_1$, $\mathcal C_2$ e $\mathcal C_3$ tre palle chiuse dello stesso raggio contenute nello stesso piano euclideo $\alpha$. Siano
\[ \mathcal A:=\left \{ P \in \alpha : P \in \mathcal C_1 \setminus ( \mathcal C_2\cup \mathcal C_3) \right \} \cup \left \{ Q \in \alpha : Q \in \mathcal C_2 \setminus ( \mathcal C_3\cup \mathcal C_1) \right \} \cup \left \{ R \in \alpha : R \in \mathcal C_3 \setminus ( \mathcal C_1\cup \mathcal C_2) \right \} ;\]
\[ \mathcal B:=\left \{ P' \in \alpha : P' \in (\mathcal C_1 \cap \mathcal C_2) \setminus \mathcal C_3 \right \} \cup \left \{ Q' \in \alpha : Q' \in (\mathcal C_2 \cap \mathcal C_3) \setminus \mathcal C_1 \right \}\cup \left \{ R' \in \alpha : R' \in (\mathcal C_3 \cap \mathcal C_1) \setminus \mathcal C_2 \right \} .\]
Siano $S_1:=\iint _{\mathcal A} d \mu= \text{mis } \overline{\mathcal{A}}$ e $S_2:=\iint _{\mathcal B} d \mu= \text{mis } \overline{\mathcal{B}}$ le misure di Lebesgue (o anche di Jordan, in questo caso è uguale) rispettivamente di $\mathcal A$ e $\mathcal B$. Dimostrare che $S_1 \geq S_2$.

Mi piace molto di più la prima formulazione
Qualcuno riesce a darmi una breve delucidazione sul simbolo $ := $

simone256 ha scritto:Mi piace molto di più la prima formulazione

e ci credo, la seconda è uno snobbistico esercizio di stile. Btw, la regione di piano coperta esattamente da un cerchio vuol dire questo: hai disegnato tre circonferenze, il piano è diviso in (al più) 4 parti; una parte che non sta in nessuna circonferenza, una parte che sta in esattamente una circonferenza, una parte che sta in esattamente due circonferenze, una parte che sta in tutte e tre le circonferenze.

Esempio1: disegna tre circonferenze di raggio 1 con i centri a distanza 1000, allora hai tre cerchi disgiunti, quindi c'è la parte di piano che sta fuori e poi i tre cerchi, la cui unione è la parte di piano coperta da esattamente un cerchio, le altre parti non ci sono (perché non ci sono parti di piano coperte da due o tre cerchi: i cerchi sono disgiunti!).

Esempio2: disegna tre circonferenze di raggio 1 con i centri nei punti A, B, C allineati e tali che $AB=BC=1$, allora avrai l'esterno dei tre cerchi che non è coperto da nulla, poi avrai due figure a spicchio che sono date dall'intersezione del cerchio centrato in B con quello in A e poi con quello in C che sono le parti di piano coperte esattamente da 2 cerchi, infine avrai la parte dei tre cerchi che non è contenuta in queste due figure a spicchio che è coperta da un solo cerchio. Non c'è parte di piano coperta da 3 cerchi (a parte il solo punto B, che però non influisce molto sulle aree).

Esempio 3: disegna 3 circonferenze concentriche di raggi 1,2,3; c'è la parte di piano esterna alla cfr di raggio 3 che non è coperta da alcun cerchio, la corona circolare tra la cfr di raggio 2 e quella di raggio 3 che è coperta da un solo cerchio (quello di raggio 3), la corona tra la cfr di raggio 1 e quella di raggio 2 che è coperta da 2 cerchi e il cerchio di raggio 1 che è coperto da 3 cerchi.

Chiaro?

Qualcuno riesce a darmi una breve delucidazione sul simbolo $ := $

E' l'uguale che compare nelle definizioni ... è come lo scalogno: se vuoi fare il figo, lo usi al posto della cipolla, ma alla fine è uguale.

(esempio: "Sia $A:=\{a\in\mathbb{Z}\ : \ a^2|(a^4+4a)\}$, allora ..." è una definizione dell'insieme $A$ e dunque ho usato il simbolo $:=$; invece "Dalle proprietà della divisibilità segue che $A=\{\pm 1, \pm2, \pm4\}$" è un'uguaglianza tra due cose già definite e quindi uso $=$.)

EvaristeG ha scritto: E' l'uguale che compare nelle definizioni ... è come lo scalogno: se vuoi fare il figo, lo usi al posto della cipolla, ma alla fine è uguale.

Questa la utilizzerò in futuro se qualcuno mi chiederà spiegazioni riguardo $ := $

EvaristeG ha scritto:(esempio: "Sia $A:=\{a\in\mathbb{Z}\ : \ a^2|(a^4+4a)\}$, allora ..." è una definizione dell'insieme $A$ e dunque ho usato il simbolo $:=$; invece "Dalle proprietà della divisibilità segue che $A=\{\pm 1, \pm2, \pm4\}$" è un'uguaglianza tra due cose già definite e quindi uso $=$.)

Grazie sei stato chiarissimo

Un hintino?