È possibile partizionare un rettangolo $1 \times 2$ in un numero finito di rettangoli più piccoli (coi lati paralleli a quelli del rettangolo grande) che possano essere riassemblati in un quadrato $\sqrt 2 \times \sqrt 2$?
Hint: chissà perché l'ho messo in questa sezione e non in Geometria...
Rettangoli irrazionali [own]
Rettangoli irrazionali [own]
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
Re: Rettangoli irrazionali [own]
Proviamo a vedere quanto formale riesco ad essere...
Sia $f$ una funzione che mi associa a rettangoli coi lati paralleli un certo reale (qualcosa di simile ad un'area). Impongo che questa $f$ associ $1$ al quadrato unitario, sia additiva ($f(A_1+A_2)=f(A_1)+f(A_2)$, purché $A_1$ e $A_2$ siano disgiunte) e invariante per tralazione (e per rotazione di 90°, in modo da poter "spostare" i pezzi dove mi pare).
Detto questo la funzione per i rettangoli è definita solo quando questi hanno entrambe le coordinate razionali (e in questo caso coincide con l'area geometrica del rettangolo): $f$ è sostanzialmente una soluzione della Cauchy. Anche se non mi interessa definire la $f$ per ogni rettangolo, posso imporre che la $f$ associ $0$ ad un rettangolo con una coordinata irrazionale; in particolare nulla mi impedisce di imporre $f(\sqrt{2}\times\sqrt{2})=0$
Il fatto che ci interessa ora è che se scomponiamo il rettangolo di partenza e lo ricomponiamo in un'altra figura mediante un numero finito di rettangoli la $f$ assume lo stesso valore in entrambe le figure, e ciò è evidente per l'additività e l'invarianza per traslazione.
Ma $f(1\times 2)=2$. E ciò implica l'assurdo.
Sia $f$ una funzione che mi associa a rettangoli coi lati paralleli un certo reale (qualcosa di simile ad un'area). Impongo che questa $f$ associ $1$ al quadrato unitario, sia additiva ($f(A_1+A_2)=f(A_1)+f(A_2)$, purché $A_1$ e $A_2$ siano disgiunte) e invariante per tralazione (e per rotazione di 90°, in modo da poter "spostare" i pezzi dove mi pare).
Detto questo la funzione per i rettangoli è definita solo quando questi hanno entrambe le coordinate razionali (e in questo caso coincide con l'area geometrica del rettangolo): $f$ è sostanzialmente una soluzione della Cauchy. Anche se non mi interessa definire la $f$ per ogni rettangolo, posso imporre che la $f$ associ $0$ ad un rettangolo con una coordinata irrazionale; in particolare nulla mi impedisce di imporre $f(\sqrt{2}\times\sqrt{2})=0$
Il fatto che ci interessa ora è che se scomponiamo il rettangolo di partenza e lo ricomponiamo in un'altra figura mediante un numero finito di rettangoli la $f$ assume lo stesso valore in entrambe le figure, e ciò è evidente per l'additività e l'invarianza per traslazione.
Ma $f(1\times 2)=2$. E ciò implica l'assurdo.
Re: Rettangoli irrazionali [own]
Ci sono un po' di problemi:
- a livello di notazione quando utilizzi la somma tra insiemi intendi l'unione?
- quando, in qualsiasi problema, dici "sia *nome* un *altro nome*..." e da lì deduci vari fatti, dovresti chiederti se è ovvio che esiste *nome* e se non lo è, mostrare che esiste. In particolare nel nostro caso questa funzione che cerchi te (che si chiama misura) si può mostrare, con un po' di lavoro e strumenti non elementari, che non esiste se la si vuole definita per qualsiasi insieme. Ci si deve limitare a una sottofamiglia (con delle certe proprietà) dei sottoinsiemi del piano. Per il nostro problema comunque, facendolo notare, si potrebbe ovviare a questa difficoltà aggiuntiva perché in effetti gli insiemi che ti serve misurare appartengono a questa sottofamiglia.
- quello che per me è l'errore di fondo: non puoi assolutamente assegnare misura zero a tutti gli insiemi con una coordinata irrazionale altrimenti si va a perdere l'additività della funzione quando l'unione di due insiemi a coordinate irrazionali dà un insieme a coordinate razionali. Prova a pensarci un po' e convincitene.
- a livello di notazione quando utilizzi la somma tra insiemi intendi l'unione?
- quando, in qualsiasi problema, dici "sia *nome* un *altro nome*..." e da lì deduci vari fatti, dovresti chiederti se è ovvio che esiste *nome* e se non lo è, mostrare che esiste. In particolare nel nostro caso questa funzione che cerchi te (che si chiama misura) si può mostrare, con un po' di lavoro e strumenti non elementari, che non esiste se la si vuole definita per qualsiasi insieme. Ci si deve limitare a una sottofamiglia (con delle certe proprietà) dei sottoinsiemi del piano. Per il nostro problema comunque, facendolo notare, si potrebbe ovviare a questa difficoltà aggiuntiva perché in effetti gli insiemi che ti serve misurare appartengono a questa sottofamiglia.
- quello che per me è l'errore di fondo: non puoi assolutamente assegnare misura zero a tutti gli insiemi con una coordinata irrazionale altrimenti si va a perdere l'additività della funzione quando l'unione di due insiemi a coordinate irrazionali dà un insieme a coordinate razionali. Prova a pensarci un po' e convincitene.
Re: Rettangoli irrazionali [own]
-Quando chiedevo per la $f$ l'additività, intendevo per $A_1+A_2$ la loro unione insiemistica, e la proprietà sopra descritta valida purché le 2 aree siano disgiunte (o abbiano al più un bordo in comune)
-Effettivamente non è ovvio che esista questa funzione. Può andar bene se definisco
-Per l'ultimo punto mi sono espresso male, effettivamente. Volevo dire una cosa del tipo: fissiamo un numero irrazionale, allora esiste $f$ che soddisfa le cose dette sopra e che assume $0$ in in questo numero irrazionale.
Ma detto in modo più formale, alla luce della definizione data qua sopra che coinvolge $g$, so che l'equazione (*) ammette una soluzione $g_0$ tale che $g_0(1)=1$ e tale che $g_0(\sqrt 2 ) = 0$. Definisco la $f$ usando questa $g_0$.
-Effettivamente non è ovvio che esista questa funzione. Può andar bene se definisco
- $f:\{"cose\ ottenibili\ unendo\ un\ numero\ finito\ di\ rettangoli"\} \rightarrow \mathbb{R}$,
- $f$ additiva come sopra,
- $f((a-b)\times(c-d))=g(a-b)\cdot g(c-d)$, dove $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ soddisfa la Cauchy, ovvero $f$ del rettangolo delimitato dai punti $(a,c)$ e $(b,d)$ è il prodotto di una certa funzione $g$ nelle sue dimensioni?
-Per l'ultimo punto mi sono espresso male, effettivamente. Volevo dire una cosa del tipo: fissiamo un numero irrazionale, allora esiste $f$ che soddisfa le cose dette sopra e che assume $0$ in in questo numero irrazionale.
Ma detto in modo più formale, alla luce della definizione data qua sopra che coinvolge $g$, so che l'equazione (*) ammette una soluzione $g_0$ tale che $g_0(1)=1$ e tale che $g_0(\sqrt 2 ) = 0$. Definisco la $f$ usando questa $g_0$.
Re: Rettangoli irrazionali [own]
Non so dove abbia visto l'equazione funzionale di Cauchy, presumo però abbia letto/sentito di soluzioni solo in caso si richieda che $ g $ sia anche continua (o monotona o limitata). In quel caso dovresti sapere che le soluzioni sono del tipo $ g(x)=kx $ dove k è una qualsiasi costante. Allora capisci bene che con funzioni come queste non puoi richiedere che facciano 0 in $ \sqrt2 $ altrimenti ottieni unicamente la soluzione banale $ g(x)=0 $ ovunque.
Re: Rettangoli irrazionali [own]
Quel che è facile dedurre da $g(x+y)=g(x)+g(y)$ è che $g(\lambda x)=\lambda g(x)$ per ogni reale $x$ e per ogni razionale $\lambda$. Non si può dedurre altro a meno che non si aggiungano anche altre ipotesi, che sono quelle di cui tu parli (un po' tutte riconducibili alla limitatezza da qualche parte).
Il fatto che non si possa dire altro è conseguenza di questo fatto: scelto un insieme di reali $\{x_1,\dots, x_n\}$ linearmente indipendenti su $\mathbb{Q}$ e un altro vettore di reali arbitrari $\{y_1,\dots, y_n\}$, allora esiste una funzione che soddisfa la Cauchy e tale che $f(x_i)=y_i$ (che ovviamente non è continua/ limitata/ monotona).
Io sfrutto questo fatto per costruire una soluzione che faccia $1$ in $1$ e $0$ in $\sqrt 2$, che esiste dato che $1$ e $\sqrt 2 $ sono linearmente indipendenti su $\mathbb{Q}$.
Il fatto che non si possa dire altro è conseguenza di questo fatto: scelto un insieme di reali $\{x_1,\dots, x_n\}$ linearmente indipendenti su $\mathbb{Q}$ e un altro vettore di reali arbitrari $\{y_1,\dots, y_n\}$, allora esiste una funzione che soddisfa la Cauchy e tale che $f(x_i)=y_i$ (che ovviamente non è continua/ limitata/ monotona).
Io sfrutto questo fatto per costruire una soluzione che faccia $1$ in $1$ e $0$ in $\sqrt 2$, che esiste dato che $1$ e $\sqrt 2 $ sono linearmente indipendenti su $\mathbb{Q}$.
Re: Rettangoli irrazionali [own]
Btw, la *cosa* definita da Tess non è una misura: infatti manca della $\sigma$-additività. In quel caso, al più si può ottenere la (pseudo)misura di Peano-Jordan, ma allora bisogna fissare il valore su tutti (o parecchi) rettangoli e non solo sul quadrato unitario.
Per risolvere la faccenda del dominio, basta essere un po' precisi: diciamo due rettangoli disgiunti se hanno in comune al più punti del perimetro e notiamo che l'unione di due rettangoli (non necessariamente disgiunti) con i lati paralleli agli assi in un piano cartesiano è ottenibile come unione di rettangoli disgiunti; allora il nostro insieme di partenza sarà formato da 1. rettangoli con i lati paralleli agli assi e 2. unioni finite di rettangoli con i lati paralleli agli assi.
Ora, per additività su figure disgiunte, è ovvio che basta vedere cosa fa la funzione sugli insiemi di tipo 1, per conoscerla su quelli di tipo 2.
L'unica cosa che va osservata è che, date due diverse scomposizioni di una figura in rettangoli disgiunti esiste un raffinamento comune (cioè se ho scritto $X=R_1\cup\ldots\cup R_n$ e anche $X=S_1\cup \ldots\cup S_m$, allora esiste una famiglia di rettangoli $T_1,\ldots, T_k$ tale che per ogni $1\leq j\leq k$ ci sono $a_j$ e $b_j$ per cui $T_j\subset R_{a_j}\cap S_{b_j}$ e $X=T_1\cup\ldots\cup T_k$ ... è più difficile scriverlo che capirlo). E questo si riduce al fatto che l'intersezione di rettangoli con i lati paralleli agli assi e la loro differenza insiemistica sono unione disgiunta di un numero finito di rettangoli.
A questo punto, basta scrivere la funzione come prodotto di funzioni delle coordinate come ha fatto Tess.
In realtà, la stessa idea (e lo stesso tipo di soluzione della Cauchy) si usa per dimostrare il teorema di Dehn (un cubo ed un tetraedro dello stesso volume non sono necessariamente equiscomponibili) e credo se ne trovi traccia in questo subforum di algebra (scavando abbastanza indietro).
Per risolvere la faccenda del dominio, basta essere un po' precisi: diciamo due rettangoli disgiunti se hanno in comune al più punti del perimetro e notiamo che l'unione di due rettangoli (non necessariamente disgiunti) con i lati paralleli agli assi in un piano cartesiano è ottenibile come unione di rettangoli disgiunti; allora il nostro insieme di partenza sarà formato da 1. rettangoli con i lati paralleli agli assi e 2. unioni finite di rettangoli con i lati paralleli agli assi.
Ora, per additività su figure disgiunte, è ovvio che basta vedere cosa fa la funzione sugli insiemi di tipo 1, per conoscerla su quelli di tipo 2.
L'unica cosa che va osservata è che, date due diverse scomposizioni di una figura in rettangoli disgiunti esiste un raffinamento comune (cioè se ho scritto $X=R_1\cup\ldots\cup R_n$ e anche $X=S_1\cup \ldots\cup S_m$, allora esiste una famiglia di rettangoli $T_1,\ldots, T_k$ tale che per ogni $1\leq j\leq k$ ci sono $a_j$ e $b_j$ per cui $T_j\subset R_{a_j}\cap S_{b_j}$ e $X=T_1\cup\ldots\cup T_k$ ... è più difficile scriverlo che capirlo). E questo si riduce al fatto che l'intersezione di rettangoli con i lati paralleli agli assi e la loro differenza insiemistica sono unione disgiunta di un numero finito di rettangoli.
A questo punto, basta scrivere la funzione come prodotto di funzioni delle coordinate come ha fatto Tess.
In realtà, la stessa idea (e lo stesso tipo di soluzione della Cauchy) si usa per dimostrare il teorema di Dehn (un cubo ed un tetraedro dello stesso volume non sono necessariamente equiscomponibili) e credo se ne trovi traccia in questo subforum di algebra (scavando abbastanza indietro).
Re: Rettangoli irrazionali [own]
E che sappia io si usa anche per mostrare che non si può scomporre un rettangolo in triangoli e riassemblarlo in un triangolo equivalente usando solo la traslazione per spostare i singoli elementi (cioè senza usare almeno una rotazione di 180°).EvaristeG ha scritto:la stessa idea si usa per dimostrare il teorema di Dehn
Ma avevo letto che si ottengono parecchi altri risultati...