OliForum Matematico

Sia $p$ un primo $p \equiv 1 \pmod{4}$. Esiste un numero $i \pmod{p}$ tale che $i^2 \equiv -1 \pmod{p}$. Consideriamo:
\begin{equation}
x^4+1 \equiv \pmod{p}
\end{equation}
Quest' equazione ha soluzione se e solo se $8|p-1$. Ma:
\begin{equation}
x^4+1 \equiv (x+\frac{i+1}{\sqrt{2}})(x+\frac{i-1}{\sqrt{2}})(x+\frac{-i+1}{\sqrt{2}})(x+\frac{-i-1}{\sqrt{2}}) \equiv 0 \pmod{p}
\end{equation}
Poiché esiste $x$ che annulla il prodotto se e solo se $8|p-1$ allora (poiché $\pm i \pm 1$ esiste sempre per $4|p-1$) $\sqrt{2}$ esiste $\pmod{p}$ se e solo se $8|p-1$.

bella pettè
a che quota sei come dimostrazioni di 2 r.q. => p=+-1(8)?

invece che fare gli esercizi del senior... (quanti ne devi fare adesso per farcela entro il 20? 37 al giorno?)

Chuck Schuldiner ha scritto:bella pettè
a che quota sei come dimostrazioni di 2 r.q. => p=+-1(8)?

invece che fare gli esercizi del senior... (quanti ne devi fare adesso per farcela entro il 20? 37 al giorno?)

Vecchio, quota 4 (di cui però uno solo per $p \equiv 3 \pmod{4}$ e l'altra solo per $p \equiv 1 \pmod{4}$) quindi praticamente 3.

Per il senior dovrei farne 1,2 al giorno, ieri ne ho fatti 6.

quindi si contano sulle dita di poche mani no?

Chuck Schuldiner ha scritto:quindi si contano sulle dita di poche mani no?

Su dita di poche mani di Nattramn, tra l'altro

chi ha piu fantasia? viewtopic.php?f=17&t=17859

Quella è davvero spettacolare!

Troleito br00tal ha scritto:.. $\sqrt{2}$ esiste $\pmod{p}$ se e solo se $8|p-1$.

Quindi il risultato è condizionato al fatto che $p\equiv 1 \pmod 4$..

jordan ha scritto:

Troleito br00tal ha scritto:.. $\sqrt{2}$ esiste $\pmod{p}$ se e solo se $8|p-1$.

Quindi il risultato è condizionato al fatto che $p\equiv 1 \pmod 4$..

Quella È decisamrente piü figa