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Per ogni intero $ n>1 $ ,sia $ P\left(n\right) $ denotare il piú grande divisore primo di n.Mostrare che esistono infiniti postivi interi n tale che: \[ P\left(n\right)<P\left(n+1\right)<P\left(n+2\right). \]

prendiamo $ (n;n+1;n+2) $ come numeri della forma $ [(2*2^k) ;( 3*v );( 2*(2^{k}+1) )] $ dove $ k=2m $ per ogni $ m $ naturale (0 escluso , quindi sicuramente $ 2^k +1 $ è diverso da $ 2 $)
allora , $ p(n)=2 $
sicuramente$ p(n+1)>p(n) $ poichè $ v $ è dispari
e sicuramente $ p(n+2)>p(n) $
ora , il divisore primo piu' grande di $ 2*(2^{k}+1) $ è sicuramente diverso da 2 o da 3 , poichè se prendiamo $ 2^k+1 $ esso di certo non ha 3 e/o 2 come divisore...... quindi $ p(n+2)>=5 $.. e in ogni caso $ p(n+2) $ è della forma $ 6m+-1 $ per ogni $ m $ naturale e quasi tutti i primi sono di questa forma.
chiamando$ 2^k+1=r $
abbiamo sicuramente che $ r>v $
e che $ p(n+1)>=3 $.......
ora da qua ho un inceppo , ma penso di aver quasi concluso , mi manca solo da dimostrare che $ p(n+2)>p(n+1) $

@nic.h.97
Se prendi $k=6$, sono rispettate tutte le tue ipotesi, ma
$p(129)=43$, e $p(130)=13$

E' apparsa piu' volte sul forum, qui un po' di problemi collegati. Una domanda potrebbe essere: chi riesce a trovare una classe F non banale di funzioni aritmetiche tali che f(n)<f(n+1)<f(n+2) per infiniti valori di n, una volta fissata f in F?

jordan ha scritto:E' apparsa piu' volte sul forum, qui un po' di problemi collegati. Una domanda potrebbe essere: chi riesce a trovare una classe F non banale di funzioni aritmetiche tali che f(n)<f(n+1)<f(n+2) per infiniti valori di n, una volta fissata f in F?

"Una classe di funzioni" è troppo generico: la proprietà vale per le funzioni nel post che hai linkato, per $\mu$, per il simbolo di Legendre, ma non può valere banalmente per altre funzioni aritmetiche famose come $\pi$ o $\lambda$. Bisognerebbe trovare una specificazione precisa della/e proprietà che le funzioni della famiglia $\mathcal F$ dovrebbero avere in comune...

Oltre al fatto che il difficile è trovare una proprietà comune alle funzioni di $\mathcal F$, una classe di funzioni aritmetiche che funziona è $f(n)=n+k$ per $k \in \mathbb Z$, che, anche se è intuitivamente banale, non abbiamo motivo di discriminare facendo i razzisti delle funzioni. Penso che l'unico lavoro di interesse sia dimostrare questa proprietà per casi particolari (ovvero funzioni aritmetiche famose). Non penso sia neanche banale il definire "non banale"

P.S. e $\mathcal F=\left \{ \sigma_k \right \} _{k \in \mathbb N}$?

<enigma> ha scritto:Non penso sia neanche banale il definire "non banale"

Sì, sapevo qualcuno mi avrebbe risposto così, e con tutte le ragioni..

P.S. e $\mathcal F=\left \{ \sigma_k \right \} _{k \in \mathbb N}$?

Scommetto di sì

La mia idea era di mostrare che per ogni $k$ intero positivo esistono due costanti $A_k, B_k$ positive tali che:
\[ A_kn^{2k} \le \varphi^k(n) \sigma_k(n) \le B_kn^{2k} \]

Fatto sta che $B_k=1$ funziona per ogni $k$, ma $A_k$ tende a $0$ per ogni $k\ge 2$ fissato, dato che per qualche costante $C\ge k$ abbiamo
\[ \prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right)^k\left(1+\frac{1}{p^k}\right)\le \prod_{p\mid n}\left(1-\frac{C}{p}\right) \le \prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right) \]
e l'ultima prodottoria tende a $0$ con $n:=\prod_{p\le x}{p}$ e $x$ sufficientemente grande..

Questa strada non funziona, male . Qualcuno ha altre idee?

Nell'Hardy&Wright dimostra $A_1=\frac 6 {\pi^2}, B_1=1$ (e sono le migliori possibili). Ha qualcosa a che vedere col problema originale o è un altro?

<enigma> ha scritto:Ha qualcosa a che vedere col problema originale o è un altro?

No, ha solo a che vedere con la tua proposta per $f=\sigma_k$ con $k\ge 2$: dato che $A_k$ tenderebbe a $0$, non si puo' modificare in alcun modo la dimostrazione che vale per $f=\sigma_1$..

In analogia col teorema di Grönwall, possiamo pensare che il caso peggiore sia col primoriale (non credo sia difficile da dimostrare), quindi se otteniamo una disuguaglianza con quello probabilmente varrà a meno di spiccioli per tutti gli altri numeri. Ora,
\[ \prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right)^k\left(1+\frac{1}{p^k}\right)\sim \prod_{p \leq x} \left ( 1-\frac k p +O(p^{-2}) \right ) \sim \frac {C}{(\log x)^k} \]
per qualche costante $C$ (ho praticamente solo usato il teorema di Mertens): quindi aggiungendo un $(\log x)^{-k}$ nel lower bound una costante $\widetilde{A}_k>0$ esiste senz'altro, e quella che possiamo ottenere magari c'entrerà con $e^\gamma$ (mentre forse nella migliore costante c'entrerà $\pi$, ma non siamo schizzinosi).

Giusto una veloce nota; usando i numeri primi $<10^9$ ho ottenuto i seguenti valori per $\widetilde{A}_k$ (restringendo il prodotto a $k<p\leq x$):

• $\widetilde{A}_2=1,5331 \dots$;
• $\widetilde{A}_3=4,8398 \dots$;
• $\widetilde{A}_4=8,0665 \dots$;
• $\widetilde{A}_5=41,3787 \dots$.

<enigma> ha scritto:ho praticamente solo usato il teorema di Mertens

Giusto; ma $C/\ln^k x \to 0$, non capisco che ci faresti con questa $\tilde{A_k}$..

Niente, era solo per trovare il corretto ordine asintotico di quella roba