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Mostrare che per ogni coppia di interi positivi a,b esiste un irrazionale x tale che
\[ \lfloor x^n \rfloor \equiv a \pmod b \]
per ogni intero positivo n.

Ma anche up! Per come l'ho (forse) risolto io c'è una soluzione truccosissima!

In effetti questo era davvero un bel problema. Com'è la tua?

Io dimostro che il numero di soluzioni di quella roba non è numerabile.

Per farlo considero l'intervallo $[3b+a;3b+a+1)$ e dimostro per induzione su $k$ che riesco a trovare due "sottointervalli" disgiunti che soddisfano per ogni $1 \le n \le k$: se supponiamo che esiste un $x$ tale che $\lfloor x^n \rfloor \equiv a \pmod{b}$, poiché $x$ sta nell'intervallo $[3b+a;3b+a+1)$, $x^{k+1}$ può variare in un intervallo che passa per almeno $3b+a$ reali; pertanto è possibile trovare due intervalli $l$ tali che $x^{k+1} \in l; x^{k+1} \equiv a \pmod{b}$; l'intervallo $l$, per ipotesi induttiva, soddisfa anche gli altri $n$. Poiché posso trovare sottointervalli di sottointervalli un numero arbitrariamente grande di volte, esiste effettivamente un numero $g$ che soddisfa la condizione del testo. Quanti sono questi numeri? Almeno uno per ogni modo di scegliere i sottointervalli. Ma, fissato un sottointervallo, posso scegliere il sottointervallo successivo in $2$ modi. È pertanto possibile mettere in biezione i vari $g$ con una stringa infinita di $01001111011100101101...$, dove $0$ indica l'intervallo minore e $1$ l'intervallo maggiore. Poiché queste stringhe non sono numerabili, non possono essere messe in biezione con i numeri razionali, pertanto i vari $g$ non possono essere messi in biezione con i numeri razionali, pertanto esiste un $g$ non razionale che soddisfa.