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Alcuni problemi topologici molto noti ma di grande interesse (e difficoltà) per chi non li conosce.

• (Jordan) Una curva chiusa nel piano (continua, non autointersecante, insomma una curva di Jordan) divide il piano in due regioni connesse.
• (Schönflies) In tale configurazione, una regione è omeomorfa a una palla e l'altra al piano privato di una palla.
• È vero che una superficie chiusa (omeomorfa a una sfera) nello spazio divide lo spazio in due regioni connesse?
• È vero che in tale configurazione, una regione è omeomorfa a una palla e l'altra allo spazio privato di una palla?

Non ho approfondito la topologia così nel dettaglio, ma mi viene da pensare al fatto che, per garantire le ultime due, siano richieste condizioni aggiuntive relative alla connessione.
Intendo, spazio connesso: ogni punto è omotopo ad ogni altro punto (esiste una funzione continua che manda 0 in un punto A, 1 in un punto B, e che per valori intermedi assume punti appartenenti allo spazio). Si parla di connessione di livello 0.
Spazio semplicemente connesso: ogni cammino chiuso è omotopo ad un punto (esiste una funzione continua che manda 0 in un cammino chiuso, 1 in un singolo punto, e che per valori intermedi assume cammini appartenenti allo spazio). Si parla di connessione di livello 1.
Connessione di livello 2: ogni superficie chiusa è omotopa ad un punto.
Connessione di livello n: ogni n-varietà chiusa è omotopa ad un punto.

Non so perché, ma mi butterei sulla connessione di livello 2...

Non mi è chiaro cosa hai in mente afullo: se richiedi un'ipotesi di connessione più forte a maggior ragione dimostreresti che lo spazio viene diviso in due componenti connesse. Però sicuramente non ho capito cosa vuoi fare.

In ogni caso il problema mi sembra troppo conosciuto per quelli più "smaliziati", di livello delirante per quelli invece che non ne hanno mai sentito parlare.

Mah anche a me sembrano tutte cose assolutamente impossibili da provare se non le si ha già viste.

Domanda da completo ignorante: il primo significa che una linea chiusa (non intrecciata) divide il piano in un dentro ed un fuori?

ndp15 ha scritto:Non mi è chiaro cosa hai in mente afullo: se richiedi un'ipotesi di connessione più forte a maggior ragione dimostreresti che lo spazio viene diviso in due componenti connesse. Però sicuramente non ho capito cosa vuoi fare.

In ogni caso il problema mi sembra troppo conosciuto per quelli più "smaliziati", di livello delirante per quelli invece che non ne hanno mai sentito parlare.

Volevo dire: magari è vero posta una connessione più forte, mentre in generale non lo è per un livello di connessione più debole.

Drago96 ha scritto:Domanda da completo ignorante: il primo significa che una linea chiusa (non intrecciata) divide il piano in un dentro ed un fuori?

Esatto
Comunque il primo tanto tanto uno bravo ci potrebbe riuscire, ma il terzo soprattutto è al limite della follia (o almeno, io che sono scarso se non l'avessi visto non ci sarei mai arrivato)

Drago96 ha scritto:Domanda da completo ignorante: il primo significa che una linea chiusa (non intrecciata) divide il piano in un dentro ed un fuori?

Sì, esattamente. E non è facile!
Visto che in effetti è molto complicato, dò alcuni hint (da qui) per poter "costruire con le proprie mani" una dimostrazione senza omologia.
La chiave è la seguente:

Teorema del punto fisso di Brouwer ha scritto:Ogni funzione continua da un sottoinsieme compatto di $\mathbb R ^n$ in sé stesso ha almeno un punto fisso.

Sapendo questo:

• Se $h(t)=(h_1(t),h_2(t)),v(t)=(v_1(t),v_2(t))$ ($-1 \leq t \leq 1$) sono curve continue con $h_1(-1)=a, h_1(1)=b, v_2(-1)=c, v_2(1)=d$, allora queste hanno un punto in comune-ovvero $h(t_1)=v(t_2)$ per qualche $-1 \leq t_1, t_2 \leq 1$.
• Sia $J$ la nostra curva; se $\mathbb R^2 \setminus J$ non è connesso, allora ogni componente connessa ha $J$ come suo bordo.
• E dunque: $\mathbb R^2 \setminus J$ ha due componenti connesse, entrambe con $J$ come frontiera. Questo è il teorema della curva di Jordan.

Comunque se qualcuno se la sente di provare... chieda tutti gli hint che gli servono

Triarii ha scritto:Comunque il primo tanto tanto uno bravo ci potrebbe riuscire, ma il terzo soprattutto è al limite della follia (o almeno, io che sono scarso se non l'avessi visto non ci sarei mai arrivato)

Il terzo è una naturale generalizzazione del primo per superfici di genere $1$ (e si generalizza a qualsiasi genere). E' il quarto che è davvero interessante.

Sì, scusa volevo dire il quarto (anche se per me pure il terzo è difficile )

EvaristeG ha scritto:Mah anche a me sembrano tutte cose assolutamente impossibili da provare se non le si ha già viste.

Però almeno il teorema di Jordan mi par di ricordare edriv trovò un modo "elementare" simpatico di farlo...

Non finimmo mai di checkare quella dimostrazione ... è ancora sul forum da qualche parte.

EvaristeG ha scritto:Non finimmo mai di checkare quella dimostrazione ... è ancora sul forum da qualche parte.

Qua:viewtopic.php?f=17&t=14602