[Topologia] Punti di accumulazione e insiemi chiusi/aperti
Inviato: 06 ago 2013, 18:42
Salve,
sto studiando in questi giorni una parte dell'analisi che forse mi è sempre mancata, e che ritengo fondamentale... cioè la topologia. In particolare, ho trovato queste definizioni e un corollario ad un teorema:
Def.1. L'insieme $ E $ (in uno spazio metrico) è chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Def.2. Un punto $ p $ è un punto di accumulazione di E se ogni intorno di p contiene un punto $ q \neq p $ tale che $ q \in E $.
Def.3. L'insieme $ E $ (in uno spazio metrico) è aperto se ogni suo punto è un punto interno.
Cor.1. Un insieme finito di punti non ha punti di accumulazione.
Gli interrogativi che mi sono sorti sono:
(I) Ho trovato scritto in un esempio che un sottoinsieme di $ \mathbb{R}^2 $ fatto da un insieme finito di punti ha la proprietà di essere chiuso. Ma io mi chiedo: se non ha punti di accumulazione (per il cor.1.) come fa ad essere chiuso?
(II) Ho trovato scritto che l'insieme dei numeri interi, pensato come sottoinsieme di $ \mathbb{R}^2 $, è un insieme chiuso (e sono d'accordo perché non può essere un insieme aperto). Ma mi chiedo: quali sono i suoi punti di accumulazione?
(III) Ho trovato scritto che l'insieme dei numeri complessi è un insieme sia chiuso sia aperto. Quali sono i suoi punti di accumulazione? Esistono altri insiemi che sono sia chiusi sia aperti? L'insieme dei numeri reali $ \mathbb{R} $ e l'insieme vuoto appartengono a questa categoria?
sto studiando in questi giorni una parte dell'analisi che forse mi è sempre mancata, e che ritengo fondamentale... cioè la topologia. In particolare, ho trovato queste definizioni e un corollario ad un teorema:
Def.1. L'insieme $ E $ (in uno spazio metrico) è chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Def.2. Un punto $ p $ è un punto di accumulazione di E se ogni intorno di p contiene un punto $ q \neq p $ tale che $ q \in E $.
Def.3. L'insieme $ E $ (in uno spazio metrico) è aperto se ogni suo punto è un punto interno.
Cor.1. Un insieme finito di punti non ha punti di accumulazione.
Gli interrogativi che mi sono sorti sono:
(I) Ho trovato scritto in un esempio che un sottoinsieme di $ \mathbb{R}^2 $ fatto da un insieme finito di punti ha la proprietà di essere chiuso. Ma io mi chiedo: se non ha punti di accumulazione (per il cor.1.) come fa ad essere chiuso?
(II) Ho trovato scritto che l'insieme dei numeri interi, pensato come sottoinsieme di $ \mathbb{R}^2 $, è un insieme chiuso (e sono d'accordo perché non può essere un insieme aperto). Ma mi chiedo: quali sono i suoi punti di accumulazione?
(III) Ho trovato scritto che l'insieme dei numeri complessi è un insieme sia chiuso sia aperto. Quali sono i suoi punti di accumulazione? Esistono altri insiemi che sono sia chiusi sia aperti? L'insieme dei numeri reali $ \mathbb{R} $ e l'insieme vuoto appartengono a questa categoria?