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Trovare tutte le \( f: \mathbb{R} - \{ -1 \} \to \mathbb{R}\) tali che per ogni \(x \in \mathbb{R} - \{ 0, 1\} \)
\[ f(x^2 - 1) + 2 f\left( \frac{2x - 1}{(x-1)^2} \right) = 2 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2} \]

Ciao, molto probabilmente il problema non è alla mia portata, pero ci stavo provando a risolverlo ed ho notato questa cosa:

Il problema si può riscrivere come...

$ F( [x-1]^2 + [x-1] + [x-1]) + 2F( [1/(x-1)^2 + [1/(x-1)] +[1/(x-1)] ) = 2 - 4/x + 3/x^2 $

ora io ricordo di aver visto una volta che tra il polinomio con le x normali e quello con stessi coefficienti ma con gli 1/x c'erano delle relazioni particolari.

se cerco su internet robe su questa cosa posso sperare di combinare qualcosa? O non c'entra assolutamente niente questa cosa con un possibile approccio al problema? (E la prima volta che affronto un problema di questo tipo, quindi non so da dove incominciare e come muovermi)

p.s.
Il mio livello di problem solver attualmente è 0, se mi dici che è difficile mollo il colpo, altrimenti ci provo

arack ha scritto:Trovare tutte le \( f: \{x \in \mathbb{R} \mid x > 1 \} \to \mathbb{R}\) tali che per ogni \(x\) nel dominio
\[ f(x^2 - 1) + 2 f\left( \frac{2x - 1}{(x-1)^2} \right) = 2 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2} \]

Uhm sei sicuro del testo? Perché per $x$ poco maggiore di $1$ si ha che $(2x-1)\leq(x-1)^2$ e dunque l'argomento della seconda $f$ non sta più nel dominio... Cioè, questa equazione ha senso solo per $1<x<2+\sqrt{2}$, o qualcosa di simile...

EvaristeG ha scritto:Uhm sei sicuro del testo? Perché per $x$ poco maggiore di $1$ si ha che $(2x-1)\leq(x-1)^2$ e dunque l'argomento della seconda $f$ non sta più nel dominio... Cioè, questa equazione ha senso solo per $1<x<2+\sqrt{2}$, o qualcosa di simile...

Ho provato ad aggiustare nel primo post, fammi sapere se ho toppato di nuovo

☆zeta ha scritto:Ciao, molto probabilmente il problema non è alla mia portata, pero ci stavo provando a risolverlo ed ho notato questa cosa:

Il problema si può riscrivere come...

$ F( [x-1]^2 + [x-1] + [x-1]) + 2F( [1/(x-1)^2 + [1/(x-1)] +[1/(x-1)] ) = 2 - 4/x + 3/x^2 $

ora io ricordo di aver visto una volta che tra il polinomio con le x normali e quello con stessi coefficienti ma con gli 1/x c'erano delle relazioni particolari.

se cerco su internet robe su questa cosa posso sperare di combinare qualcosa? O non c'entra assolutamente niente questa cosa con un possibile approccio al problema? (E la prima volta che affronto un problema di questo tipo, quindi non so da dove incominciare e come muovermi)

p.s.
Il mio livello di problem solver attualmente è 0, se mi dici che è difficile mollo il colpo, altrimenti ci provo

Ok, hai semplificato di molto il problema:

\(f((x-1)^2 + 2(x-1)) + 2 f\left(\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-1}\right) = 2 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}\)

ora applichiamo la trasformazione \(x-1 \to x\) e otteniamo

\(f(x^2 + 2x) + 2 f\left(\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x}\right) = 2 - \frac{4}{x+1} + \frac{3}{(x+1)^2}\)

Hint: Se non ti ho confuso troppo prova a continuare

Grazie per l'aiuto, ci provo e spero di non sbagliare...

Pongo x-1 --> t

quindi $ F(t^2 +2t) +2F(1/t^2 + 1/t) = 2- 4/(t+1) +3/(t+1) $

pongo t --> 1/t e moltiplico per 2

quindi $ 2F(1/t^2 + 2/t) +4F(1/t^2 + 1/t) = 4- 8t/(t+1) +6t^2/(t+1)^2 $

sottraggo la prima alla seconda...

$ 3F(t^2 +2t) = 3/(t+1)^2 ---> F(t^2 + 2t) = 1/(t+1)^2 $

ritrasformo t ---> x-1

$ F(x^2 - 1) = 1/x^2 $

quindi $ F(x) = 1/(x+1) $

Ok, la soluzione mi sembra giusta!

Ti lascio un paio di link sul \(\LaTeX\) se ti possono interessare:
Aiuto:Formule matematiche TeX
Online LaTeX Equation Editor

arack ha scritto:Ok, la soluzione mi sembra giusta!

Ti lascio un paio di link sul \(\LaTeX\) se ti possono interessare:
Aiuto:Formule matematiche TeX
Online LaTeX Equation Editor

Grazie, cercherò di usare latex nel modo più corretto

☆zeta ha scritto:
quindi $ 2F(1/t^2 + 2/t) +4F(1/t^2 + 1/t) = 4- 8t/(t+1) +6t^2/(t+1)^2 $

a parte un errore di stampa qui...

$ F(x^2 - 1) = 1/x^2 $

quindi $ F(x) = 1/(x+1) $

Hmm non credo ... la prima equazione ti dà informazione su cosa fa $F$ sui reali che si possono scrivere come $x^2-1$, che non sono mica tutti...

EvaristeG ha scritto:la prima equazione ti dà informazione su cosa fa $F$ sui reali che si possono scrivere come $x^2-1$, che non sono mica tutti...

Se il dominio di \(f\) fosse \(\mathbb{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid x > -1\}\) la soluzione dovrebbe essere giusta, o sbaglio di nuovo?

Credo di sì, ma la prossima volta che inventi un problema stai più attento...