OliForum Matematico

Vorrei proporre un esercizio io, viene dal libro che cosa e' la matematica (non conosco la soluzione perche' non lo ho risolto).

Il numero 142857 gode della proprietà che la moltiplicazione per uno qualsiasi dei numeri 2,3,4,5,6 produce soltanto una permutazione ciclica delle sue cifre. Spiegare questa proprietà usando lo sviluppo di 1/7 in frazione decimale.

Magari qualcuno mi da una mano...io all'inizio l'avevo risolto così: 1/7 viene 0,142857 periodico, e nella divisione compaiono ciclicamente i resti 1,2,3,4,5,6 segue che se moltiplico per uno di questi numeri ottengo che il periodo permuta le sue cifre e quindi giustifico che 142857 per quei numeri mi da una permutazione del numero di partenza.
Ma il testo richiede la giustificazione della permutazione delle cifre usando lo sviluppo di 1/7 in frazioni decimali...

Ma Dopo che scrivo 1/7 = 142857/10^6 + 142857/10^12 +... come giustifico la permutazione delle cifre?

Visto che nessuno ti risponde, lo faccio io. Innanzitutto devo dire che la tua "risoluzione" non l'ho proprio capita...

Allora, abbiamo che $1/7=0.\overline{142857}$. Osserviamo che $10^k/7$ ha lo stesso periodo di $1/7$ shiftato di $k$ posizioni. Inoltre, poiché $10$ è generatore modulo $7$, le potenze $10^1, 10^2, \ldots, 10^6$ sono congrue in qualche ordine a $1, 2, \ldots, 6$ modulo $7$. La proprietà magica segue facilmente.
A questo punto ci si potrebbe chiedere quali siano tutti gli $n$ con questa proprietà.
Un bel teorema ci dice che se $\gcd(10, b)=1$ e $a/b$ è una frazione ridotta ai minimi termini, allora la lunghezza del suo periodo è $\text{ord}_b(10)$. Quindi, nel caso particolare in cui $a=1$ e $b=p$ è un primo tale che $10$ è un generatore modulo $p$, poiché $\text{ord}_p(10)=\varphi(p)=p-1$, possiamo scrivere che
$$\frac{1}{p}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{n}{10^{k(p-1)}}=\frac{n}{10^{p-1}-1}$$
da cui $n=(10^{p-1}-1)/p$. Tali $n$ sono detti cyclic numbers e i primi che li generano full reptend primes.

ps. non sono stato molto dettagliato, ma a volte fa bene scervellarsi per capire cosa c'è scritto