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Sono dati $50$ segmenti su una retta. Dimostrare che otto di questi segmenti hanno un punto in comune o otto sono a due a due disgiunti

Intendi dire che o non meno di 8 segmenti hanno un punto in comune o non meno di 8 sono disgiunti a 2 a 2 ?

maurizio43 ha scritto:Intendi dire che o non meno di 8 segmenti hanno un punto in comune o non meno di 8 sono disgiunti a 2 a 2 ?

Sì. Insomma, o otto si accavallano su un punto o otto non hanno niente in comune tra di loro...

Dimostriamo in generale che dati \(n^2+1\) segmenti, allora se non esistono \(n+1\) segmenti che hanno un punto in comune esistono \(n+1\) segmenti disgiunti a 2 a 2. Visto che non esistono \(n+1\) segmenti che hanno un punto in comune, ogni \(n+1\) segmenti consecutivi (relativamente al vertice,che so, a sinistra) il primo e l'ultimo sono disigunti. Ma allora i segmenti disgiunti a 2 a 2 sono \(1, n+1, 2n+1, \ldots, n^2+1\), che sono in tutto \(n+1\).

Gottinger95 ha scritto:Visto che non esistono \(n+1\) segmenti che hanno un punto in comune, ogni \(n+1\) segmenti consecutivi (relativamente al vertice,che so, a sinistra) il primo e l'ultimo sono disigunti.

Questo mi pare falso: prendi tipo il primo segmento ENORME, poi $n-1$ segmenti i tutti contenuti in questo ma che arrivano a $\epsilon$ dalla fine e poi fai iniziare un nuovo segmento a $\epsilon/2$ dalla fine: rispetta la tua premessa ma falsifica la tua conclusione...

@Mist:

Forse commetto qualche errore nell’ interpretare l’ enunciato :
-Per 8 segmenti con un punto in comune intendo che uno stesso trattino di segmento
(o al limite un estremo) appartenga a ciascuno degli 8 segmenti
-Per 8 segmenti a due a due disgiunti intendo 8 segmenti per i quali ognuna delle 28 coppie
che possono essere considerata sia disgiunta

Per semplicità di esposizione usiamo allora per un generico segmento $ A_iA_j $ un metodo di notazione per cui gli indici indichino anche
il valore della ascissa degli estremi stessi .
Consideriamo i segmenti : $ A_1A_2, A_1A_3, \ldots, A_1A_8 $
Sono evidentemente 7 segmenti inanellati fra loro, con $ A_1A_2 $ in comune, cioè con punto in comune.
Consideriamo altri 6 gruppi analoghi
$ A_{11}A_{12}, A_{11}A_{13}, \ldots, A_{11}A_{18} $
$ \ldots $
$ A_{61}A_{62}, A_{61}A_{63}, \ldots, A_{61}A_{68} $
Così abbiamo 7 gruppi separati, ciascuno con 7 segmenti con un punto in comune.
Per avere n segmenti disgiunti a due a due devo limitarmi a prenderne 1 per ogni gruppo ( 2 dello stesso gruppo non sarebbero disgiunti )
7 x 7 = 49
Basta considerare, internamente a un gruppo, un segmentino situato “centralmente” rispetto al segmento più grande per raggiungere così
i 50 segmenti senza rispettare i 2 limiti della tesi .
E naturalmente si potrebbe andare ben oltre i 50 segmenti .

Da quel che ho capito il metodo di gottinger può essere sistemato. Cioè prendendo $n+1$ segmenti consecutivi l'ultimo segmento è disgiunto da almeno uno dei segmenti alla sua sinistra (che però non è necessariamente il primo). Infatti se così non fosse si avrebbe che ognuno degli $n$ segmenti alla sua sinistra si accavalla per un certo intervallo con l'$n+1-esimo$ ottenendo però un punto in comune tra $n+1$ segmenti.
Adesso però va sistemata anche la seconda parte.
Chiamo $D$ l'insieme che conterrà $n+1$ segmenti disgiunti.
Applicando questo procedimento ai primi $n+1$ segmenti ne ottengo 2 disgiunti di cui uno è l'$n+1-esimo$ e aggiungo entrambi i segmenti in $D$. Ora spostandomi dall' $n+1-esimo$ al $2n+1-esimo$ ottengo che il $2n+1-esimo$ è disgiunto da un altro segmento alla sua sinistra che chiamo $x$. Se $x$ è l'$n+1-esimo$ allora aggiungo il $2n+1-esimo$ a $D$ e vado avanti all'intervallo successivo. Se $x$ non coincide con l'$n+1-esimo$ allora sicuramente sta alla destra dell'$n+1-esimo$. Quindi tolgo l'$n+1-esimo$ segmento da $D$, e aggiungo a $D$ il segmento $x$ e il $2n+1-esimo$. Dopodichè continuo così spostandomi a destra di $n$ segmenti e ripetendo le operazioni fino alla fine.

Poi non ho controllato che funzioni davvero in casi non troppo comodi

P. S. : Naturalmente il mio dubbio varrebbe anche per un generico numero di segmenti n . n + 1 .
Basta considerare n gruppi (ciascuno di n segmenti inanellati ) e inserirne 1 segmento al centro di un gruppo

@maurizio: definisci bene "al centro" e vedi che la tesi è rispettata!
@steph: sì forse funziona, però lascio l'onore e l'onere di controllare bene a Mist...

Se, per esempio, come 50° segmento prendessimo $ A_4A_5 $ (che è "quasi al centro" del primo gruppo di segmenti) i segmenti tutti con uno stesso tratto in comune resterebbero 7 ( come prima dell' inserimento del 50° ) , perchè $ A_4A_5 $ non ha punti in comune con $ A_1A_2 $ ( e nemmeno con $ A_1A_3 $ ) .
Cioè nel primo gruppo ci sarebbero una 7-pla e una 6-pla di segmenti con un punto in comune e nessuna 8-pla .
E questo smentirebbe l' enunciato ( sempre se nell' ipotesi che io lo abbia letto bene )

maurizio43 ha scritto:$ A_4A_5 $ non ha punti in comune con $ A_1A_2 $ ( e nemmeno con $ A_1A_3 $ )
)

Appunto!
E quindi tu trovi due segmenti disgiunti nel primo gruppo!

GIUSTO, CAVOLO !!! Per una volta che mi sono dedicato ad usare e curare il LaTeX mi sono dimenticato di lasciare acceso il cervello ....

@xxStephxx: hai ragione! Così funziona Mi sono lasciato prendere dalla pigrizia xD