OliForum Matematico

Ispirato da un problema già passato sul forum, che chiedeva di dimostrare-mi pare-$\displaystyle \prod_{\text{$p$ primo}} \frac{p^2+1}{p^2-1}=\frac 5 2$. Volevo metterlo in Algebra ma rischiavo venisse spostato
Dimostrare che
\[ \prod_{\text{$p$ primo} \atop p\equiv 1 \pmod 4}\frac{p^2+1}{p^2-1}= \frac{12G}{\pi ^2}, \]
\[ \prod_{\text{$p$ primo} \atop p \equiv 3 \pmod 4}\frac{p^2+1}{p^2-1}= \frac{\pi^2}{8G}, \]
dove $G$ è la costante di Catalan.

Trovare poi un'espressione in termini di costanti "note" per gli stessi prodotti ma con $p^2$ rimpiazzato ovunque da $p^3$, e trovare quindi $\displaystyle \prod_{\text{$p$ primo}} \frac{p^3+1}{p^3-1}$.

En passant: hai un link alla discussione sul forum del problema "già passato"?

Purtroppo no, l'ho cercato un po' senza trovarlo... ma sono comunque abbastanza sicuro di averlo già visto, sia nella forma $\displaystyle \prod _{p \in \mathbb P} \frac{p^2+1}{p^2-1}$ che $\displaystyle \sum_{(a,b)=1}\frac 1 {(ab)^2}$.

Esatto; se non ricordo male viene dal libro di Leo Moser, ed è stato postato sia qui che su Scienze Matematiche..