OliForum Matematico

Siano fissati interi positivi $m,n$ tali che $\sqrt{23}>\frac{m}{n}$.
i) Mostrare che $ \sqrt{23}>\frac{m}{n}+\frac{3}{mn}.$
ii) Mostrare che $ \sqrt{23}<\frac{m}{n}+\frac{4}{mn}$ per infinite scelte di $(m,n)$.

Dan Schwarz

Per via grafica, con qualche schizzo di diagrammi cartesiani la soluzione alla prima condizione [ la (i) ]sembra facile.
( Quando poi bisogna andarla a raccontarla senza fare uso di immagini e in LaTex si muore di uggia, e penso che anche leggerla non sia divertente, per cui mi scuso a priori. )
La soluzione alla seconda condizione [ la (jj )] invece mi torna meno : solo un paio di coppie n,m (cioè 1,1 e 1,4 ) sembrano soddisfarla (?)
Comunque vediamo la prima parte :

Consideriamo un piano cartesiano $ xy $ in cui tracciamo la retta $ r $ di equazione $ y = \sqrt{23}x $ (1)
Tutti i punti compresi fra la retta $ r $ e l'asse $ x $ hanno coordinate che soddisfano la disequazione $ \sqrt{23}> \frac{y}{x} $ (2)
Nel piano $ xy $ consideriamo poi 4 rette parallele all' asse x rispettivamente di ordinata pari a 1,2,3,4 .
Intersechiamo tali rette con le infinite rette paralle all' asse y rispettivamente di ascissa intera n = 1,2,............
I nodi del reticolo infinito formato dall' incrocio di queste rette stanno tutti sotto la retta $ r $ e quindi le loro coppie di ascissa e ordinata
(che sono sempre intere) sono tutte e sole quelle per cui $ \sqrt{23}> \frac{m}{n} $

Nella terna cartesiana $ xyz $ , in cui ad ogni punto del precedente reticolo associamo una quota $ z=\frac{y}{x}+ \frac{3}{yx} $ ,
otteniamo un nuovo reticolo con nodi aventi le terne di coordinate
$ (n,1,\frac{1}{n}+ \frac{3}{1n}) $,
oppure $ (n,2,\frac{2}{n}+ \frac{3}{2n}) $ ,
oppure $ (n,3,\frac{3}{n}+ \frac{3}{3n}) $,
oppure$ (n,4,\frac{4}{n}+ \frac{3}{4n}) $ per n=1,2,......
Gli infiniti punti di questo reticolo hanno coordinate $ n, \frac{m}{n},\frac{m}{n}+\frac{3}{nm} $

Consideriamo il generico piano verticale $ \gamma $ , parallelo al piano $ zy $ e passante per $ Q=(n,0,0) $
Anche su questo piano $ \gamma $ rappresentiamo una retta $ s $ di equazione $ z=\sqrt{23}y $ (3)
I 4 punti del reticolo di cui sopra che appartengono a questo piano verticale sono compresi tra la retta $ s $ e la parallela all' asse $ y $
( retta secondo la quale \$ \gamma $ taglia il piano $ xy $ ) . Ciò per ogni piano verticale di ascissa n=1,2,....

Se ne conclude che tutti gli infiniti punti del reticolo tridimensionale che abbiamo descritto sopra hanno la terna di coordinate che soddisfano la (2 e la (3)

Evidentemente c'è uno scarso interesse per il problema (oltre che per la mia "insipida" soluzione), considerato che :
- Nessuno mi conferma che la tesi ii) non è verificata per infinite coppie n,m bensì solo per 1,1 e 1,4 .
- Nessuno mi ha detto che la mia soluzione era parzialmente riduttiva e con imprecisioni
(Non bisognerebbe mai scriverle di getto ! Anche se "di getto" va usato tra virgolette quando si fa uso del LaTeX e conseguentemente si invecchia davanti al PC)
Comunque riporto quella che dovrebbe essere la soluzione completa :

Sul piano cartesiano $ xy $ il reticolo di punti da considerare è quello formato dall' incrocio di infinite rette parallele all'asse $ y $ aventi
ascissa $ n= 1, 2, 3,........ $ con 4 rette uscenti dall' origine aventi $ pendenza (m/n) $ rispettivamente pari a $ 1,2,3,4 $ .
Tutti i nodi del reticolo stanno nella parte del piano $ xy $ compresa tra l'asse $ x $ e la retta $ r $ : $ y=x\sqrt{23} $ e quindi hanno coordinate $ $m,n$ $ intere, che
soddisfano la condizione i) .
Associando nella terna cartesiana $ xyz $ ad ogni punto del precedente reticolo una quota $ z=\frac{y}{x}+ \frac{3}{yx} $ otteniamo
un nuovo reticolo con nodi aventi le terne di coordinate :
$ (n,1.n,1+\frac{3}{(1.n^2)}) $ , oppure
$ (n,2.n,2+\frac{3}{(2.n^2)}) $ , oppure
$ (n,3.n,3+\frac{3}{(3.n^2)}) $ , oppure
$ (n,4.n,4+\frac{3}{(4.n^2)}) $ .
Essendo $ 23>(4,75)^2 $, tutti i punti di questo reticolo stanno sotto il tetto costituito dal piano orizzontale $ z = \sqrt{23} $ e quindi soddisfano la i) .

Viceversa la tesi ii) è soddisfatta solo dai punti $ (1,4,\frac{4}{1}+\frac{4}{4.1}) e $$ (1,1,\frac{1}{1}+\frac{4}{1.1}) $
Per tutti gli altri punti il termine $ \frac{4}{mn} $ cala vistosamente al crescere di n , e la ii) non è verificata .

Temo che il problema sia che non necessariamente $m/n$ è uno tra 1,2,3 o 4, ed anzi non necessariamente è un intero; tanto per fare un esempio, anche la coppia $(m,n)=(9,2)$ andrebbe considerata, dal momento che $9/2=4.5<4.75<\sqrt{23}$.
Per quanto riguarda la condizione ii), si può verificare facilmente (eventualmente con l'ausilio di un computer o di una calcolatrice) che essa è soddisfatta dalle coppie $(m,n)=(211,44)$ e $(10124,2111)$ (oltre che da infinite altre, ma per ora volevo solo fornire un esempio...)

Per inciso, credo che la scarsa attività sul forum sia principalmente dovuta al fatto che in questo momento si svolge a Pisa lo stage Senior, e molti degli utenti più attivi sono lontani dai rispettivi computer ed in altre faccende affaccendati.

Sì,grazie,è esatto.
E appunto ci si può spingere anche fino alla retta passante per l'origine e di pendenza $ k=y/x= 4,795 $ (E anche "un pelino" più inclinata).
Comunque nel mio ultimo post non mi sembra di avere scritto che "tutti e soli" i nodi giusti erano quelli , ma solo che "tutti" quei nodi erano giusti.
Ed era inutilmente scomodo indicare gli altri nodi come incrocio tra rette parallele all' asse $ y $ con ascissa $ n $ intera e semirette rette uscenti dall' origine
con pendenza $ k $, ( e anche con pendenza compresa tra $ 4 $ e $ k $) con esclusione dei nodi con ordinata non intera.
Infatti il problema chiedeva solo di dimostrare che le possibili coppie $ n, $ $ m $ erano esistenti e di numero infinito, e infinite ne erano state trovate.
[Tra l' altro si ottengono nodi "giusti" anche utilizzando semirette uscenti dall' origine e con pendenza tra 1 e 2, tra 2 e 3 e tra 3 e 4]