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Sia $f(x)$ il polinomio $2x^2-7x+3$. Si determini un polinomio $g(x)$ tale che $g(0)=1$ e tale che, per ogni intero positivo $n$, la somma dei quadrati dei coefficienti di $f(x)^n$ è uguale alla somma dei quadrati dei coefficienti di $g(x)^n$.


Nel testo c'era anche un hint:
Siano $f(x)$ un polinomio, $\alpha+\beta x$ un polinomio di grado al più $1$. Allora la somma dei quadrati dei coefficienti dei due polinomi $f(x)(\alpha+\beta x)$ e di $f(x)(\beta + \alpha x)$ sono uguali.

Io personalmente sul compito ho fatto così:
ho dimostrato il fatto suggerito:
Dato $f(x)$ un polinomio di grado $n$ generico esprimibile nella forma
$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + ... + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a$
se lo moltiplico per $(\alpha x + \beta)$ ottengo il coefficiente della $x^2$ come:
$a_n \alpha + a_{n-1} \alpha + a_{n-2}\alpha + ... + a_1 \alpha $
mentre quello della $x$ sarà:
$a_n \beta + a_{n-1} \beta + a_{n-2}\beta + ... + a_1 \beta + a \alpha$
e il termine noto sarà:
$a \beta$
Se invece moltiplicassi per $\beta x + \alpha$ avrei come coefficiente della $x^2$
$ a_n \beta + a_{n-1} \beta + a_{n-2}\beta + ... + a_1 \beta $
come coefficiente della $x$:
$a_n \alpha + a_{n-1} \alpha + a_{n-2}\alpha + ... + a_1 \alpha + a \beta$
e come termine noto:
$a \alpha$
Che elevati al quadrato sono uguali e quindi saranno uguali per qualsiasi valore di $\alpha,\beta$

Dimostrato ciò ho notato che:
$f(x) = (2x-1)(x-3) \rightarrow g(x) = (2x-1)(3x-1) = 6x^2 - 5x + 1$ con $g(0) = 1$

E' giusto?

Mi pare di si

Speriamo!
Anche tu hai fatto il test?

Raga scusate, ma io per esempio al compito avrei scritto il polinomio spiegando come ci sono arrivato, non sarebbe andato bene ugualmente? Sarebbe servito per forza consegnare anche la dimostrazione dell'hint?

Edex ha scritto:ho dimostrato il fatto suggerito
[...]
Dimostrato ciò ho notato che[..]

E da questo come ricaveresti che $s(f^n)=s(g^n)$ per ogni intero $n>0$?

Tess ha scritto:

Edex ha scritto:ho dimostrato il fatto suggerito
[...]
Dimostrato ciò ho notato che[..]

E da questo come ricaveresti che $s(f^n)=s(g^n)$ per ogni intero $n>0$?

Usi il lemma $n$ volte

Fai poco lo sborone (leggasi bagonzo) che tu non l'hai concluso

Quello ho scritto in gara e qui lo ripeto: quel polinomio funziona applicando il lemma $n$ volte. Ed è più che finito così... dimmi che non è vero

Devo ammettere che il problema di come dimostrarlo me lo sono posto anche io, perchè applicando il lemma n volte va comunque ricordato che funziona solo per un polinomio di al più grado 1, quindi come fa a funzionare per:
$[(2x-1)(x-3)]^2 \rightarrow f(x) = (2x-1)^2(x-3)$ $m(x) = x-3$
$[(2x-1)(3x-1)]^2 \rightarrow f_1(x) = (2x-1)^2(3x-1)$ $m_1(x) = 3x-1$
Dove $f(x) \neq f_1(x)$?
Però ho visto che funzionava e quindi mi sono convinto di aver sbagliato qualcosa io nel controllare

\[ \begin{align*}
& s((2x-1)^n(x-3)^n) & = & s((2x-1)^n(x-3)^{n-1}(3x-1)) \\
&&= &s((2x-1)^n(x-3)^{n-2}(3x-1)^2)& \\
&&= &s((2x-1)^n(x-3)^{n-3}(3x-1)^3)& \\
&&\vdots&& \\
&&= &s((2x-1)^n(3x-1)^n).& \\
\end{align*}
\]
La prima uguaglianza è vera per il lemma con $f(x)=(2x-1)^n(x-3)^{n-1}$ e $\alpha x +\beta=x-3$, la seconda con $f(x)=(2x-1)^n(x-3)^{n-2}(3x-1)$ e $\alpha x+\beta=x-3$, la terza con $f(x)=(2x-1)^n(x-3)^{n-3}(3x-1)^2$ e $\alpha x+\beta=x-3$, eccetera. Ovvero, il lemma usato $n$ volte.

A proposito di sboronate: per il teorema dei residui
\[ \begin{align*}
&s(f)&=&\frac 1 {2 \pi i} \oint_{|z|=1} f(z)f(z^{-1}) z^{-1} dz\\&&=&\frac 1 {2 \pi i} \oint_{|z|=1} (2z-1)(z-3)(2z^{-1}-1)(z^{-1}-3) z^{-1} dz\\&& =&\frac 1 {2 \pi i} \oint_{|z|=1} (2z-1)(3z-1)(2z^{-1}-1)(3z^{-1}-1) z^{-1} dz\\&&=&\frac 1 {2 \pi i} \oint_{|z|=1} g(z)g(z^{-1}) z^{-1} dz\\&&=&s(g).
\end{align*}
\]
(Come si trova tale soluzione? Pensando alla serie di Laurent di $f(z)f(z^{-1})$.)

enigma che mette un link a wikipedia IN ITAGLIANO Poi le sboronate sarebbero quelle di cui mi hai parlato, che hai davvero scritto nel test?

Bah di solito iin effetti non la linko (quella schifezza non ha neanche una pagina sugli anelli borromei, a differenza della cugina anglofona), ma per quel che serve per la soluzione quella voce può bastare.
Qua su questo non ho scritto niente, ho finito un paio d'ore prima (avendo già visto tre problemi era difficile fare altrimenti) e allora ho scritto qualche approfondimento in calce ai problemi-automi e poi percolazione sul 2, curve iperellittiche sul 3, iniettività di varie funzioni polinomiali sul 6. La soluzione in analisi complessa del 5 non l'ho scritta perché non era proprio immediata da trovare in gara, specie quando avevi l'altra soluzione già sputtanata

<enigma> ha scritto: e allora ho scritto qualche approfondimento in calce ai problemi-automi e poi percolazione sul 2, curve iperellittiche sul 3, iniettività di varie funzioni polinomiali sul 6.

Con onestà:
1. hai dei problemi seri
2. te ne sei procurati di ulteriori.

EvaristeG ha scritto: hai dei problemi seri