CASO BASE: \(d=(p,q)=1\)
Parte distruttiva: poniamo per assurdo \(n \geq p+q-1\). Costruiamo una tabella in cui nella prima riga ci sono \(a_1, \ldots a_p\), nella seconda \(a_2, \ldots, a_{p+1}\), ..., nell'ultima \(a_q, \ldots, a_{p+q-1}\). I prodotti sulle righe sono tutti minori di 1, i prodotti sulle colonne sono maggiori di 1 \(\rightarrow\) il prodotto di tutti gli elementi è contemporaneamente maggiore e minore di 1, assurdo.
Parte costruttiva: \(n \leq p+q-2\) va bene. Voglio che la mia serie abbia 2 requisiti:
1.
Non-potenza. Voglio scegliere il primo \(p\) prodotto e il primo \(q\) prodotto in modo che rispettino le ipotesi. Per farlo mi serve che la successione non sia costante, altrimenti il primo \(p\) prodotto e il primo \(q\) prodotto sarebbero potenze di uno stesso numero, e dunque entrambi minori o maggiori di 1.
2.
Periodicità. Voglio una successione periodica di periodo \(p\) e periodo \(q\), in modo che i \(p\) (o \(q\) ) prodotti siano tutti uguali tra loro.
Una serie del genere esiste per il teorema di Wilf-Fine.
CASO GENERALE: \(d>1\), dove \(d=(p,q)\).
Parte distruttiva: poniamo per assurdo \(n > p+q-d-1\). Sia \(a_k\) il prodotto dei numeri da \(a_{dk+1}\) a \(a_{dk+(d-1)}\). Abbiamo \(\left \lfloor n/d \right \rfloor\) termini. Applichiamo il caso base a \(\left \lfloor n/d \right \rfloor, p/d, q/d\) e otteniamo che è assurdo \(\left \lfloor n/d \right \rfloor \geq p/d + q/d -1\), ossia \(n \geq d \left \lfloor n/d \right \rfloor \geq p+q-d\). Perciò deve essere \(n \leq p+q-d-1\).
Parte costruttiva: \(n = p+q-d-1\) va bene. Questa è un po' più dura, ma ci proviamo, per completezza
Come prima, la mia serie deve avere due requisiti:
1.
Non-potenza. Voglio scegliere il primo \(q\) prodotto e il primo \(p\) prodotto in modo che rispettino le ipotesi. Per farlo, essi non devono essere potenze di uno stesso numero. Ma allora i \(d\) prodotti non devono essere tutti uguali, altrimenti i \(p\) e \(q\) prodotti sarebbero potenze di un \(d\) prodotto, dunque entrmabi maggiori o minori di 1. Perciò la serie non deve essere periodica di periodo \(d\).
2.
Periodicità. Voglio che la serie sia periodica di periodo \(p\) e di periodo \(q\), in modo che i \(p\) e \(q\) prodotti siano tutti uguali tra loro.
Wilf-Fine generalizzato:
Esiste una successione periodica \(a_1, \ldots, a_n\) di periodo \(p\) e di periodo \(q\) non periodica di periodo \(d\) se e solo se \(n \leq p+q-d-1\).
Assumiamo per assurdo \(n \geq p+q-d\).
Costruiamo un "grafo della periodicità" (orientato) in questo modo: ogni vertice rappresenta un termine della sequenza, \(a_i\) è collegato a \(a_{p+i}\), e \(a_{q+i}\) è collegato ad \(a_i\) (attenzione ai versi degli archi). L'essere collegati indica l'essere uguali. Allora il grafo è un 1-digrafo regolare (ogni vertice ha un arco che entra e uno che esce), i quali sono fatti da cicli disgiunti. E' semplice dimostrare che il "grafo della periodicità" ha \(d=(p,q)\) cicli disgiunti: \(a_i\) è connesso solo ai termini della forma \(a_{i+dk}\) (aggiungendo e togliendo \(p,q\) la congruenza modulo \(d\) si conserva), e a tutti termini della forma \(a_{i+dk}\) solo se \(n \geq p+q-d\) (semplici considerazioni sul teorema di bezout e simili). Perciò il numero di componenti connesse è esattamente \(d\), il numero di classi di resto \(\pmod{d}\). Ma allora la successione è \(d\) periodica! Per sbarazzarmi della periodicità devo levare \(d+1\) vertici: i primi \(d\) vengono cancellati uno da ogni ciclo (stiamo togliendo i termini finali, che appartengono tutti a classi diverse \(\pmod{d}\) ), ma tutte le componenti rimangono connesse; l'ultimo vertice sottratto dà il colpo di grazia e abbiamo vinto, perchè una componente connessa si spezza \(\Rightarrow\) la serie non è periodica di periodo \(d\) .
Comunque non intendevo (p,q)=1. Diciamo che non pensavo di essere frainteso: per al più intendevo proprio quel p+q-(p,q)-1, non chiedevo di dimostrare la parte costruttiva. Chiedo scusa se qualcuno ci si è sbattezzato sopra per trovare anche la sequenza effettiva