OliForum Matematico

Salve ragazzi, domani mattina ho i test in una scuola d'eccellenza ed ho bisogno di un aiuto urgente con alcuni problemi: il primo è questo


http://imageshack.us/photo/my-images/823/fad5.png

non conoscendo l'aritmetica modulare ho cercato qualcosa su wikipedia ed ho capito su grandi linee di cosa stiamo parlando..

non ho trovato nulla sui cubi di termini interi e quindi ho preso alla lettera quello che mi dice la soluzione.. ma ho un dubbio : facendo un esempio col cubo di 3 (27), come fa 27 ad essere congruente a -1 o 1 (modulo 9)?????

e inoltre a cosa è congruente il quadrato di un termine modulo 9? e la somma di 2 o di 3 quadrati? così se domani capita qualche esercizio del genere lo so risolvere

Scusa l'ot, tanti auguri..

jordan ha scritto:Scusa l'ot, tanti auguri..

grazie non sai aiutarmi col quesito? Non capisco perché inseriscono l'aritmetica modulare se non si studia nemmeno al liceo scientifico

Le congruenze modulo modulo qualcosa (ossia le classi di resto modulo qualcosa) si "comportano bene" rispetto alla somma, sottrazione e moltiplicazione. In questo caso quindi si nota subito che $ 2011\equiv 4 (mod 9) $. Di conseguenza anche $ x^3+y^3+z^3\equiv 4 ( mod 9) $. Ma ciò è impossibile. Infatti se analizziamo le classi di resto modulo 9 e ci facciamo una tabellina coi rispettivi cubi (basta moltoplicarli per se stesso 3 volte visto che le congruenze, come ho già detto, si comportano bene rispetto alla moltiplicazione) notiamo che questi ultimi possono solo essere 0, 1 o -1. Di conseguenza, se facciamo a mano tutti i casi, notiamo che la somma a sinistra non è mai congrua a 4 modulo 9. Ora mi potresti chiedere come mai ho analizzato modulo 9 e non modulo qualche altro numero. E' noto che i cubi modulo 9 sono solo quelli listati, e visto che sono così pochi, è un buon candidato come metodo risolutivo. Se invece c'erano i quadrati, un modulo "bellino" è il 3. Per le potenze quarte c'è il 16.

Triarii ha scritto:Le congruenze modulo modulo qualcosa (ossia le classi di resto modulo qualcosa) si "comportano bene" rispetto alla somma, sottrazione e moltiplicazione. In questo caso quindi si nota subito che $ 2011\equiv 4 (mod 9) $. Di conseguenza anche $ x^3+y^3+z^3\equiv 4 ( mod 9) $. Ma ciò è impossibile. Infatti se analizziamo le classi di resto modulo 9 e ci facciamo una tabellina coi rispettivi cubi (basta moltoplicarli per se stesso 3 volte visto che le congruenze, come ho già detto, si comportano bene rispetto alla moltiplicazione) notiamo che questi ultimi possono solo essere 0, 1 o -1. Di conseguenza, se facciamo a mano tutti i casi, notiamo che la somma a sinistra non è mai congrua a 4 modulo 9. Ora mi potresti chiedere come mai ho analizzato modulo 9 e non modulo qualche altro numero. E' noto che i cubi modulo 9 sono solo quelli listati, e visto che sono così pochi, è un buon candidato come metodo risolutivo. Se invece c'erano i quadrati, un modulo "bellino" è il 3. Per le potenze quarte c'è il 16.

Grazie mille puoi dirmi a cosa è congruente il quadrato di un intero modulo 3? Sempre ai numeri dell'insieme {0,-1,1} ??? o è diverso? e la somma di due quadrati interi? e la somma di 3 quadrati?

e con le potenze quarte???

Beh, provaci da solo: è facile!
In generale vale se $ a\equiv b (mod c) $ allora $ a^n\equiv b^n (mod c) $
Dunque dovresti vedere facilmente cosa viene fuori

aiutatemi pure con questo per favore:



spiegatelo per un comune mortale/liceale come me..mai studiate successioni e/o sommatorie al liceo.. diciamo che le conosco per sentito dire

Triarii ha scritto:Beh, provaci da solo: è facile!
In generale vale se $ a\equiv b (mod c) $ allora $ a^n\equiv b^n (mod c) $
Dunque dovresti vedere facilmente cosa viene fuori

scusa non capisco proprio, ho più o meno capito cosa sono i moduli ma se mi rispondi alla domanda o mi spieghi come si calcolano l'insieme dei numeri congruenti modulo 4 di un quadrato, di una somma di quadrati, e di 3 quadrati mi faresti un gran favore



EDIT: Se puoi aiutami anche col problema che ho postato poco fa e con questo qua sotto (ne ho tanto bisogno entro stasera):



il resto della soluzione del problema l'ho capita, e lo so anche risolvere con passaggi che portano a risultati diversi ma equivalenti ma non capisco proprio l'ultimo passaggio dell'immagine che ho pubblicato, come si ci arriva? Il penultimo è la formula di duplicazione del seno, ma quella dopo? HELP ME

modulo 3
Le classi di resto sono 0,1,2 (le puoi trovare anche scritte come 0,1,-1 questo perchè $ 2\equiv -1 $ mod 3 )
se eleviamo al quadrato abbiamo che queste diventano rispettivamente 0,1,1 ($ 2^2=4\equiv 1 $ mod 3)
modulo 16
Le classi di resto sono 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 che puoi anche trovare come 0,1,2,3,4,5,6,7,8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1
Le classi di resto delle potenze quarte sono 0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1 mod 16
Poi per le somme basta che li sommi! Se tu hai ad esempio $ x\equiv 1 $ mod 9 e y\equiv 2 mod 9, allora $ x^3\equiv 1 $ mod 9 e y^3 equiv -1 mod 9.
La somma $ x^3+y^3 $ pertanto sarà congrua a 1+(-1)=0 mod 9

Triarii ha scritto:modulo 3
Le classi di resto sono 0,1,2 (le puoi trovare anche scritte come 0,1,-1 questo perchè $ 2\equiv -1 $ mod 3 )
se eleviamo al quadrato abbiamo che queste diventano rispettivamente 0,1,1 ($ 2^2=4\equiv 1 $ mod 3)
modulo 16
Le classi di resto sono 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 che puoi anche trovare come 0,1,2,3,4,5,6,7,8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1
Le classi di resto delle potenze quarte sono 0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1 mod 16
Poi per le somme basta che li sommi! Se tu hai ad esempio $ x\equiv 1 $ mod 9 e y\equiv 2 mod 9, allora $ x^3\equiv 1 $ mod 9 e y^3 equiv -1 mod 9.
La somma $ x^3+y^3 $ pertanto sarà congrua a 1+(-1)=0 mod 9

mmm grazie anche se non ho ben capito come potrei risolvere un eventuale esercizio del tipo
$ x^2+y^2+z^2=2013 $ oppure $ x^4+y^4+z^4=2013 $

ma comunque, se puoi aiutami negli altri 2 problemi che ho postato prima per favore



e qualche dritta per questi:




=/

We compare snake!

I problemi che hai postato fanno riferimento a teorie abbastanza "grossettine" che non credo tu possa padroneggiare in un pomeriggio per il test di domani..
il mio consiglio è:
- oggi dormi tanto
- domani al test fai quello che riesci
- dopodomani procurati delle dispense e comincia a studiare più approfonditamente queste cose

poi, ovviamente, your choice

yursnake ha scritto:

Triarii ha scritto:modulo 3

mmm grazie anche se non ho ben capito come potrei risolvere un eventuale esercizio del tipo
$ x^2+y^2+z^2=2013 $ oppure $ x^4+y^4+z^4=2013 $

Questi problemi di teoria dei numeri spesso richiedono strategie euristiche, non sempre puoi risolvere allo stesso modo casi differenti.

snake ha scritto:We compare snake!

I problemi che hai postato fanno riferimento a teorie abbastanza "grossettine" che non credo tu possa padroneggiare in un pomeriggio per il test di domani..
il mio consiglio è:
- oggi dormi tanto
- domani al test fai quello che riesci
- dopodomani procurati delle dispense e comincia a studiare più approfonditamente queste cose

poi, ovviamente, your choice

mmm dovrei spararmi compare

Non capisco perché mettere nei test esercizi in cui la teoria che sta alla base non si studia manco per sbaglio al liceo..

comunque a quello trigonometrico potete rispondermi? Quello è facile

Se non erro in quello trigonometrico sfrutta il fatto $ \sin \alpha=\cos (90-\alpha) $ trasformando $ \sin \frac{\alpha}{2} $ in $ \cos \frac{180-\alpha}{2}=\cos \frac{\beta+\gamma}{2} $ e poi formula per addizione
Nel 4, la disuguaglianza, non ci sono condizioni tipo $ x>1 $? Perché con $ x\leq 1 $ vengono fuori radici negative...
Nel 6 un'idea è considerare il riflesso di Q, che chiamo Q' rispetto all'asse delle ascisse. In tal modo, RQ=RQ' e la somma da minimizzare è PR+RQ'. Per la disuguaglianza triangolare (ovvero che in un triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo) il punto in cui la somma PR+RQ' è minima è l'intersezione del segmento PQ' con l'asse (se fai un disegnino è molto più chiaro quello che ho appena scritto)
Per gli esercizi del tipo $ x^2+y^2+z^2=2013 $ una cosa "bovina" da fare in casi disperati è vedere tutte le congruenze possibili modulo 3,4,5...11. Se non funziona... bè, c'est la vie.

jordan ha scritto:Scusa l'ot, tanti auguri..

P.S: non offenderti eh, però potevi anche iniziare a guardare i test un po' prima, dato che è appunto una "scuola d'eccellenza"
P.P.S: giusto per non essere completamente inutile, per quanto riguarda $x^2+y^2+z^2=2013$, se le congruenze non dovessero funzionare, allora ci sono solo un caso finito di casi, poiché una somma di quadrati può solo aumentare; quindi se proprio sei disperato ti fai i casi in modo più o meno furbo (tipo imponi condizioni necessarie a colpi di congruenze, oppure dici $x\ge y\ge z$ e quindi $z\le \sqrt{\frac{2013}{3}}\approx31$ ecc...)

karlosson_sul_tetto ha scritto:Se non erro in quello trigonometrico sfrutta il fatto $ \sin \alpha=\cos (90-\alpha) $ trasformando $ \sin \frac{\alpha}{2} $ in $ \cos \frac{180-\alpha}{2}=\cos \frac{\beta+\gamma}{2} $ e poi formula per addizione
Nel 4, la disuguaglianza, non ci sono condizioni tipo $ x>1 $? Perché con $ x\leq 1 $ vengono fuori radici negative...
Nel 6 un'idea è considerare il riflesso di Q, che chiamo Q' rispetto all'asse delle ascisse. In tal modo, RQ=RQ' e la somma da minimizzare è PR+RQ'. Per la disuguaglianza triangolare (ovvero che in un triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo) il punto in cui la somma PR+RQ' è minima è l'intersezione del segmento PQ' con l'asse (se fai un disegnino è molto più chiaro quello che ho appena scritto)
Per gli esercizi del tipo $ x^2+y^2+z^2=2013 $ una cosa "bovina" da fare in casi disperati è vedere tutte le congruenze possibili modulo 3,4,5...11. Se non funziona... bè, c'est la vie.

su quello trigonometrico forse hai ragione ma non capisco ugualmente come ottiene \[sin\alpha + sin\beta + sin\gamma = 4 cos\frac{\alpha }{2} cos\frac{\beta }{2} cos\frac{\gamma }{2}\]

per quanto riguarda la disuguaglianza devo darti torto perché la prima radice è positiva per \[x \geq 1 e -1\leq x\leq 0\]

la seconda radice è positiva per x maggiore o uguale a 1 e x minore di 0

tuttavia grazie ugualmente per la risposta

Drago96 ha scritto: P.S: non offenderti eh, però potevi anche iniziare a guardare i test un po' prima, dato che è appunto una "scuola d'eccellenza"

hai perfettamente ragione ma non mi è d'aiuto ora :/

p.s. per inserire le equazioni utilizzate anche voi un editor LaTex esterno al forum??



P.P.S Aiutatemi almeno con questi che sembrano facili per favore


come si trovano questi benedetti numeri di 3 cifre?

e l'ultimo come si fa?

devo impostare una funzione tipo questa : \[f(x)=\sqrt{b^2+(x-a)^2}+\sqrt{d^2+(c-x)^2}\]


e poi derivarla? non ho ripassato nemmeno le derivate purtroppo :/