No, non sono esageratamente offeso
PARTE 1: Rappresaglia. Uccidiamo \(c\) e \(d\).
Innanzitutto notiamo che \(\displaystyle |A_q| = \frac{p-1}{gcd(p-1,q)} -1\): infatti il numero di residui \(q\)-esimi corrisponde al numero di resti modulo \(p-1\) esprimibili come \(qk\). Abbiamo \(\alpha = qk \pmod{p-1}\), ossia \(\displaystyle \alpha/q = k \pmod{\frac{p-1 }{gcd(p-1,q) } }\), che \(gcd(p-1,q)\) soluzioni \(k\). Purtroppo dobbiamo sbarazzarci della soluzione \(0\), che corrisponde modulo \(p\) a \(x^0 = 1 \not \in A_q\) per definizione. Quindi rimaniamo con \( \frac{p-1}{gcd(p-1,q)} -1\) soluzioni.
Definiamo \(\sigma_{k,b}\) la somma di tutti i possibili prodotti elevati alla \(b\) di \(d\) termini presi da \(A_q\). Cerchiamo di capire qual'è il coefficiente di \(c^{d-j}\) nella somma a sinistra: fissati \(a_1, \ldots, a_d\), il mio \(c^{d-j}\) riceverà tutti i prodotti a gruppi di \(j\) che contengono solo \(a_1, \ldots, a_d\). Quindi di certo il cofficiente di \(c^{d-j}\) conterrà tutti e soli prodotti a gruppi di \(j\), al variare di \(a_1, \ldots, a_d\). Ma quante volte becco un prodotto \(a_{i_1} \cdot \ldots \cdot a_{i_j}\)? Tutte e sole le volte che gli \(a_1, \ldots, a_d\) che fisso contengono \(a_{i_1}, \ldots, a_{i_j}\), ossia tutti i modi di scegliere \(d-j\) oggetti in un insieme di \(|A_q| - j\) oggetti. Perciò la somma a sinistra diventa:
\(\displaystyle \sum_{j=1}^d {\sigma_{j,b} c^{d-j} \binom{|A_q|-j}{d-j} } = \sum_{j=1}^d {\sigma_{j,b} c^{d-j} \binom{ \frac{p-1}{gcd(p-1,q)} -1-j}{d-j} }\)
che è terribilmente simile alla somma a destra. Di fatto se dimostriamo che \(\sigma_{j,b} = (-1)^j\), abbiamo finito.
PARTE 2: Somme di potenze di generatori.
Qui inizia la parte dura. Essersi sbarazzati di \(c,d\) ci conduce al cuore del problema, che è:
\(\displaystyle \sigma_{j,b} = \sum_{a_{i_1}, \ldots, a_{i_j} \in A_q}{ \left ( \prod_{h=1}^j{a_{i_h} } \right )^b } \equiv (-1)^j \pmod{p}\)
Prima di cominciare,
Lemma. Sia \(g\) un generatore modulo p. Sia \(H = \{0, \ldots,p-2\}\). Si ha, per \(1 \leq j \le p-2\) e \(s \not \equiv 0 \pmod{p-1}\):
\(\displaystyle S = \sum_{k_1, \ldots, k_j \in H \mbox{ distinti}}{g^{sk_1+\ldots+sk_j} } \equiv 0 \pmod{p}\)
Il lemma segue immediatamente dal fatto che
\(\displaystyle g^{sj} S \equiv \sum_{k_1, \ldots, k_j \in H \mbox{ distinti}}{g^{s(k_1+1)+\ldots+s(k_j+1)} } \equiv \sum_{k_1, \ldots, k_j \in H \mbox{ distinti}}{g^{sk_1+\ldots+sk_j} } \equiv S \pmod{p}\)
Il secondo passaggio è dovuto al fatto che l'insieme delle \(j\)-uple \(( (k_1+1), \ldots, (k_j+1) )\) con \(k_1, \ldots, k_j \in H\) è evidentemente in bigezione con l'insieme delle \(j\)-uple \( ( k_1, \ldots, k_j) \) con \(k_1, \ldots, k_j \in H\).
Ritorniamo al nostro problema. Definiamo \(\displaystyle S_n = \sum_{k_1, \ldots, k_n \in H \mbox{ distinti} }{g^{qb(k_1+\ldots+k_n)} }\). Per il lemma \(S_n \equiv 0\) per \(1 \le n \le p-2\). Allora, per il principio di inclusione-esclusione:
\(\displaystyle \sigma_{j,b} = \sum_{a_{i_1}, \ldots, a_{i_j} \in A_q}{ \left ( \prod_{h=1}^j{a_{i_h} } \right )^b } = \sum_{k_1, \ldots, k_j \in H \mbox{ distinti e} \not = \mbox{0} }{g^{qb(k_1+\ldots+k_n)} } \equiv\)
\(\equiv S_j - S_{j-1} + ... +(-1)^{j-1}S_1 + (-1)^j S_0 \equiv (-1)^j S_0 \equiv (-1)^j \pmod{p} \)
Per capire il perchè del principio di inclusione-esclusione e il perchè di \(S_0 \equiv 1 \pmod{p}\), basta interpretare \(S_k\) come la somma in cui agli esponenti compaiono almeno \(j-k\) zeri. Perciò in \(S_0\) compaiono \(j\) zeri, ossia è \(g^0\).
In particolare stavo cercando di mettere dei $b_i$ a caso interi positivi (vedi 
comunque oh, te la posso dire una cosa, in tutta onestà intellettuale? I tuoi problemi di teoria dei numeri mi piacciono tantissimo 