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159. Somme di quarte potenze (problema di Waring)

Inviato: 21 set 2013, 22:29
da <enigma>
Sapendo che ogni intero positivo è somma di al più $4$ quadrati di interi, dimostrare che ogni intero positivo è somma di al più $53$ quarte potenze di interi.

Bonus (non della staffetta): migliorare elementarmente tale numero. (Se ci provate, sappiate che il migliore possibile è $19$).

Re: 159. Somme di quarte potenze (problema di Waring)

Inviato: 22 set 2013, 16:40
da dario2994
Ho apprezzato molto l'originalità nella scelta del problema, che finalmente si allontana un po' dai classici problemi olimpici :)

Vale la seguente:
$ (a+b)^4+(a-b)^4=2a^4+2b^4+12a^2b^2 $
Inoltre vale:
$6(a^2+b^2+c^2+d^2)^2 = \sum_{a,b} (2a^4+2b^4+12a^2b^2) $

Ma allora dato $m$ scrivo $m=a^2+b^2+c^2+d^2$ (posso dare per scontato che esistono $a,b,c,d$) e allora ho dimostrato (basta unire le 2 identità mostrate) che $6m^2$ si scrive come somma di alpiù 12 potenze quarte.

Sia $n$ un numero, esiste certamente $0\le k\le 5$ tale che $n-k=6t$. Ma ora esistono $x,y,z,w$ tali che $t=x^2+y^2+z^2+w^2$.
Perciò ho $n=k+6x^2+6y^2+6z^2+6w^2$. Ma ora $k$ si scrive come al più $k$ potenze quarte, mentre gli altri addendi si scrivono ognuno come somma di alpiù $12$ potenze quarte. Quindi visto che $k\le 5$ ho che $n$ lo so scrivere come somma di alpiù $4\cdot 12+5=53$ potenze quarte che è la tesi.