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Forse è un po' contoso, ma l'ho trovato utile per smanettare un pochino con polinomi/radici/coefficienti/somme simmetriche...

Siano $f(x),\ g(x)$ due polinomi monici di grado 2 a coefficienti reali tali che:

• $f(x)=0$ ha come soluzioni due reali distinti $a_1,a_2$
• $g(x)=0$ ha come soluzioni due reali distinti $b_1,b_2$
• $\{f(b_1),f(b_2)\}=\{b_1,b_2\}$
• $\{g(a_1),g(a_2)\}=\{a_1,a_2\}$
• $f(1)g(1)=k$ con $k$ reale fissato

Determinare quanto vale $h(x)=f(x)g(x)$ in funzione di $k$

Cosa intendi con $ \{f(b_1),f(b_2)\}=\{b_1,b_2\} $?

Intendo che $f(b_1)=b_1,f(b_2)=b_2$ oppure $f(b_1)=b_2,f(b_2)=b_1$

Scusa drago96 ma con le condizioni $\{f(b_1),f(b_2)\}=\{b_1,b_2\}$ e $\{g(a_1),g(a_2)\}=\{a_1,a_2\}$ non troviamo direttamente le 2 radici di f e le due radici di g e quindi k assume al piu 4 valori?

Non ho capito cosa intendi, però tu non devi trovare $k$: quello te lo dà il problema ed è fissato. Tu invece devi trovare un modo esplicito di scrivere $h(x)$ in funzione del $k$ fissato: per esempio potresti dire $h(x)=x^4+2kx-1$... (ovviamente questo è il primo polinomio che mi è venuto in mente, e non è quello giusto )

quello che intendo é che le radici dei due polinomi le posso trovare in un sistema a quattro incognite con le condizioni poste da te.

Sì, grossomodo direi di sì...
Però dovresti anche far vedere cosa vuoi fare, e se possibile anche farlo!

Posso postare però la foto dell esercizio fatto su un quaderno ?im a latex noob ed impiegherei un eternita a scriverlo sul forum.

Se proprio non puoi fare diversamente...
Almeno il "risultato" riesci a scriverlo in $\LaTeX$?

ci proverò ma la soluzione domani stasera non posso