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Posso prendere $m,n$ tali che $m=ad$ e $n=bd$ con $a,b,d$ fra loro coprimi. Riscrivo l'equazione, che analizzata modulo $mn=d^2ab$ diventa
$ad(ad+1)+bd(bd+2)\equiv 0 (d^2ab)$
Per TCR posso dividerla in un sistema di 3 congruenze
$ad(ad+1) \equiv 0 (b)\Rightarrow ad\equiv -1 (b)$
$bd(bd+1)\equiv 0 (a)\Rightarrow bd\equiv -1 (b)$
$ad(ad+1)+bd(bd+1)\equiv 0 (d^2)\Rightarrow a+b\equiv 0 (d)$
Poichè $a,b$ sono coprimi, posso riscrivere le prime 2 relazioni come
$d\equiv a^{-1} (b)$
$d\equiv b^{-1} (a)$
Sempre per TCR abbiamo quindi che esiste sempre una classe $d$ che soddisfa queste 2. Non è detto che però soddisfi la terza relazione del sistema...