OliForum Matematico

Sia $ABC$ un triangolo scaleno con incentro $I$; chiamiamo $D$, $E$, $F$ i punti di tangenza del cerchio inscritto con i lati $BC$, $CA$, $AB$.
Detta $P$ la proiezione di $D$ su $EF$ e detta $Q$ la seconda intersezione della circonferenza di diametro $AI$ con la circonferenza circoscritta ad $ABC$, dimostrare che $I$, $P$, $Q$ sono allineati.

Probabilmente sbaglio, ma sappiamo che il triangolo AFE è isoscele su base FE, dunque la retta AI è asse di EF. Ma allora la proiezione di D su EF deve giacere sia su EF che su AI, in quanto A giace sulla retta per I e Q per ipotesi e si deve dimostrare che I,P e Q sono allineati che è equivalente a dire che I,P,Q ed A sono allineati. Dunque P deve essere il punto medio di FE e questo accade solo quando il triangolo DFE è isoscele su base EF, dunque $ \widehat{B}=\widehat{C} $. Ma così si contraddicono le ipotesi...

Hawk ha scritto: in quanto A giace sulla retta per I e Q per ipotesi

Credo l'inghippo sia qui...

Ottimo, ho sbagliato a leggere....

Invertendo rispetto all'inscritta, la retta $EF$ va nella circonferenza di diametro $AI$ e la circonferenza circoscritta ad $ABC$ va nella circonferenza di Feuerbach di $DEF$, che passa per $P$. Ma dato che $P$ appartiene sia a questa circonferenza che ad $EF$, il suo inverso sarà l'intersezione di circoscritta e circonferenza di diametro $AI$ (le immagini di questa retta e questa circonferenza), che è $Q$. Dunque $P$ e $Q$ sono inversi e la tesi segue banalmente.

Ma esiste una specia di lista delle inversioni più importanti, oppure non valgono sempre? Nel senso, se inverto la particolare circonferenza X di un triangolo qiuesta va sempre nella Y ecc... Ho cercato un po' su internet ma non ho trovato nulla al riguardo (probabilmente perchè la mia abilità nel cercare cose sulla rete è pari a quella di un bradipo tetraplegico a correre)

No, di solito non succede granché. Le poche cose che succedono le puoi ricavare quasi immediatamente dalle proprietà dell'inversione, quindi non c'è molto da dire.