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Dato un triangolo acutangolo $ABC$, definiamo $M$ il punto medio di $AB$, e $P$ e $Q$ i piedi delle altezze da $A$ e $BC$ e da $B$ a $AC$ rispettivamente. Mostrare che se la retta $AC$ è tangente alla circonferenza circoscritta a $BMP$ allora la retta $BC$ è tangente alla circonferenza circoscritta a $AMQ$.
(Samuele Mongodi)

Se la retta $AC$ e la circonferenza $BMP$ sono tangenti, allora lo sono anche le loro inverse rispetto a una circonferenza qualsiasi: se prendiamo quella avente come diametro $AB$, notiamo che quest'ultima passa per $P$ e $Q$, per cui manda la retta $AC$ nella circonferenza $AMQ$ e la circonferenza $BMP$ nella retta $BC$. Da ciò segue immediatamente la tesi