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Own. Siano $x,y,z$ interi positivi distinti tali che $(z+x)(z+y)=(x+y)^2$. Mostrare che
$$x^2+y^2>8(x+y)+2(xy+1).$$

Risolvendo rispetto a $z$ si ha $\Delta=5x^2+6xy+5y^2$, che deve essere un quadrato perfetto: ponendo $x+y=s$ e $|x-y|=d >0$, la tesi diventa $d^2>8s+2$: se ciò non fosse vero, seguirebbe $\Delta=4s^2+d^2 \le 4s^2+8s+2 < 4s^2+8s+4 \Rightarrow (2s)^2<\Delta<(2s+2)^2$
L'unica possibilità sarebbe quindi $\Delta=(2s+1)^2$, da cui $d^2=4s+1$: analizzando i due membri $\mod 8$ si vede che $d$ dovrebbe essere per forza dispari e $s$ per forza pari, ma allora $x$ e $y$ non potrebbero essere interi e si andrebbe contro l'ipotesi