OliForum Matematico

trovare tutte le $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ monotone tali che
$f(x+f(y))=f(x)+y$

Non so se quello che faccio si possa fare, ma ci provo:
$ x=y\rightarrow f(f(x)+x)=f(x)+x $ e quindi $ f(x)=x $ da cui la tesi, vero?!

Non capisco cosa tu voglia dire "da cui la tesi" (?). Quella è soluzione ma ce ne sono altre (almeno penso).

Albertobucci95 ha scritto: $ x=y\rightarrow f(f(x)+x)=f(x)+x $ e quindi $ f(x)=x $

Perché quel "quindi"? Da quello che hai scritto sai dire che, SE un certo numero reale $y$ si può scrivere come $x+f(x)$ per un qualche altro numero reale $x$, ALLORA $f(y)=y$.
Non è detto che OGNI numero reale si possa scrivere come $x+f(x)$.

Esempio con un'altra equazione: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tale che $f(f(x))=f(x)$. Tu vorresti concludere che $f(x)=x$? Beh, no! è vero solo per gli elementi dell'immagine di $f$. Ad esempio, la funzione $f(x)=|x|$ ha la proprietà che abbiamo appena detto e quel che capita è che, ad esempio $f(f(-1))=f(-1)$ ma $f(-1)\neq -1$. Chiaro?

Il fatto che le funzioni siano monotone mi fa pensare a una Cauchy .
Pongo $x=0$, $y=y_0 \in\mathbb{R}$, da cui deriva:
$$f(f(y_0))=f(0)+y_0$$
Visto che RHS può variare su tutto $\mathbb{R}$, la funzione è suriettiva; dunque esiste $k$ tale che $f(k)=0$.
Sostituisco $k_0$ alla $y$, ottenendo:
$f(x)=f(x)+k_0$
Da cui $k_0=0$ e quindi $f(0)=0$
Sostituisco adesso $0$ alla $x$ e $k_1\in \mathbb{R}$ alla $y$, ottenendo:
$$f(f(k_1))=k_1$$
Quindi la funzione è biettiva.
Sostituisco dunque $f(y_1)$ al posto di $y$, ottenendo:
$$f(x+y_1)=f(x)+f(y_1)$$
Che è una Cauchy, e che dunque ammette solo soluzioni lineari del tipo $f(x)=\alpha x$.
Sostituisco nell'equazione iniziale per la verifica:
$$\alpha x+\alpha^2y=\alpha x+y$$
E quindi $\alpha=\pm 1$ e le soluzioni sono $f(x)=x$ e $f(x)=-x$

Giusto. Domanda semi-inutile:
da $f(f(y_0))=f(0)+y_0$ non potevo già dire che $f\circ f$ è biettiva?

Probabilmente si, dopo tutto io lo dimostro in due passaggi quasi banali...
(OT: ho già avuto la stessa identica discussione al Senior, anche se lì si parlava di $g(f(x))=x$ con $g$ suriettiva ed $f$ iniettiva, eri per caso presente anche tu?)

Nope. Che ti hanno detto?

Mi sembra che abbiamo convenuto che si poteva dare per scontato (ma non ne sarei così certo), anche se dopo tutto la dimostrazione non è impossibile/tediosa...

Fatto generale:
- se $f\circ g$ è surgettiva, allora $f$ è surgettiva
- se $f\circ g$ è iniettiva, allora $g$ è iniettiva.
Questi due sono facili da dimostrare (e sono proprietà generali che si possono dar per buone in una dimostrazione). Come corollario segue che se $f\circ f$ è bigettiva, allora $f$ è bigettiva.

@Lasker: dillo, quando dici che la Cauchy ha solo soluzioni lineari, che questo è vero perché hai anche l'ipotesi di monotonia.

@EvaristeG

@Lasker: dillo, quando dici che la Cauchy ha solo soluzioni lineari, che questo è vero perché hai anche l'ipotesi di monotonia.

In realtà l'avevo detto all'inizio:

Il fatto che le funzioni siano monotone mi fa pensare a una Cauchy

anche se devo ammettere che messa lì e in quei termini è un'affermazione velata/fuori posto

Per ipotesi $f(x+f(y))=f(x)+y$ per ogni $x,y$ reali.

1) $f(0)=0$:
$x=0 \wedge y=0 \implies f(f(0))=f(0)$. Dunque, posto $a:=f(0)$, si ha $f(a)=a$.
Prendo $x=0$ e $y=a$ ottenendo $f(0+f(a))=f(0)+a$, cioè $f(0)=0$.

2) La funzione coincide con la sua inversa:
scegliendo $x=0$ si ha $f(f(y))=y$, cioè $f^2=\text{id}$.

3) $f(2x)= 2f(x)$ per ogni $x$:
scegliendo $y=f(x)$ otteniamo $f(x+f(f(x)))=f(x)+f(x)$, cioè la tesi.


4)La funzione è dispari:
Per ogni $k$ reale poniamo $x= -f(k)$ e $y=2k$.
Si ha $f( -f(k)+f(2k))=f( -f(k))+2k$, cioè $f(f(k))=f(-f(k))+2k$, ovvero $-k= f(-f(k))$
Pertanto $f(-k)= -f(k)$ per ogni $k \in \mathbb{R}$.
_______
Supponiamo che $f$ sia crescente: dimostro che l'unica possibilità è $f(x)=x$. Supponiamo che $f$ sia decrescente: dimostro che l'unica possibilità è $f(x) = -x$. edit:corretto l'ultimo spoiler

Lasker ha scritto: In realtà l'avevo detto all'inizio:

Il fatto che le funzioni siano monotone mi fa pensare a una Cauchy

anche se devo ammettere che messa lì e in quei termini è un'affermazione velata/fuori posto

Infatti era un consiglio di posizionamento . Ottimo che venga l'idea, poi però va detto "Per la monotonia!" (col tono di "per la forza di Grayskull!") al momento giusto!

Si scusate, avevate detto per chi è alle prime armi e quello che pensavo fosse giusto ho scritto, grande cavolata!