Se ti tagliassero a pezzetti isometrici

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EvaristeG
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Se ti tagliassero a pezzetti isometrici

Messaggio da EvaristeG »

1. Sia $A$ un insieme di $\mathbb{R}^n$ che contiene $n+1$ punti a $n$ a $n$ non complanari. E' vero che ogni funzione $f:A\to\mathbb{R}^n$ che conserva le distanze tra punti è la restrizione ad $A$ di una isometria di $\mathbb{R}^n$?

2. Sia $D=\{x\in\mathbb{R}^n\ :\ \|x\|\leq 1\}$ la palla chiusa. E' possibile trovare due insiemi $A$ e $B$, tali che $A\cup B=D$ e $A\cap B=\emptyset$, con una mappa surgettiva $f:A\to B$ che preservi le distanze?
ndp15
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Re: Se ti tagliassero a pezzetti isometrici

Messaggio da ndp15 »

EvaristeG ha scritto:1. Sia $A$ un insieme di $\mathbb{R}^n$ che contiene $n+1$ punti a $n$ a $n$ non complanari.
Potresti specificare meglio cosa intendi per la parte quotata? Grazie.
EvaristeG
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Re: Se ti tagliassero a pezzetti isometrici

Messaggio da EvaristeG »

Uff, sorry, volevo dire "in posizione generale". Non so come sia uscita quella frase...
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julio14
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Re: Se ti tagliassero a pezzetti isometrici

Messaggio da julio14 »

1. Si, basta prendere l'unica estensione affine di $f$. Vediamo perché è un'isometria.
A meno di traslazioni, possiamo supporre che l'origine appartenga ad $A$ e venga mappata nell'origine da $f$. Così $A$ meno l'origine è una base è l'estensione affine diventa un'applicazione lineare: basta quindi verificare che la matrice della metrica è conservata. Ma questo è ovvio, perché le entrate della matrice della metrica sono i moduli quadri dei vettori di base, conservati per ipotesi, e i prodotti scalari incrociati. Ma anche questi sono conservati, per "il terzo criterio di congruenza dei triangoli": le lunghezze dei lati di un triangolo lo determinano a meno di riflessioni, e quindi determinano anche le proiezioni di un lato sull'altro.

2. No, non può esistere, e il colpevole è il centro della palla: voglio vedere che la proposizione "il centro di $D$ appartiene ad $A$" dipende solo da $A$ come spazio metrico astratto. Ma allora appartiene ad $A$ se e solo se appartiene a $B$ perché sono isometrici, assurdo.

Se $A$ contiene due punti a distanza $2$, abbiamo già finito: il centro è individuabile come unico punto, se esistente, a distanza uno da entrambi. Altrimenti, ogni coppia di punti diametralmente opposti sul guscio si divide fra $A$ e $B$. Ma allora trovo punti $a\in A$, $b\in B$ sul guscio arbitrariamente vicini, e se $a'\in A$ è opposto a $b$, la distanza fra $a$ ed $a'$ è arbitrariamente vicina a $2$. Prendo quindi una successione $a_n,a_n'$ tale che $|a_n-a_n'|>2-\frac1n$. Il centro $c$, se esiste in $A$, è l'unico punto tale che le successioni $|a_n-c|$, $|a_n'-c|$ tendono ad $1$ per $n$ tendente a infinito.
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