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Determinare tutte le terne $m;n;p$ di razionali positivi tali che $m+\frac{1}{np};n+\frac{1}{mp};p+\frac{1}{mn}$ sono interi.

Balkan $2006$, problema $3$.

Se quei tre numeri sono interi, allora lo è anche il loro prodotto:

$\left(m+\dfrac{1}{np}\right)\left(n+\dfrac{1}{mp}\right)\left(p+\dfrac{1}{mn}\right)=mnp+\dfrac{3}{mnp}+\dfrac{1}{m^2n^2p^2}+3$

Posto $x=mnp$, deve esistere un intero $k$ tale che:

$x+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}=k$, ovvero $x^3-kx^2+3x+1=0$

Abbiamo dunque un polinomio in $x$ monico e a coefficienti interi: se $x$ è una radice razionale deve dividere il termine noto, ma nel nostro caso segue necessariamente $x=1$, e quindi $m+\dfrac{1}{np}=m+\dfrac{mnp}{np}=2m$, così come gli altri due diventano $2n$ e $2p$: ricordando che devono essere interi, scriviamo $m,n,p$ come $\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2},\dfrac{c}{2}$, con $a,b,c$ interi positivi: a questo punto si ha

$mnp=1 \Rightarrow abc=8$ : a meno di permutazioni, si hanno 3 soluzioni distinte, che portano alle terne (non ordinate) $(1,1,1), \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},4\right),\left(\dfrac{1}{2},1,2\right)$

Bene:) carino no?