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In effetti non è vero che $ EHC = 27° $ ..... ! !

Allego un'immagine per una maggiore chiarezza nell'esposizione della dimostrazione.

Voglio dimostrare che l'angolo $\angle EHC$ misura $45°$, per farlo mi basta dimostrare che $\angle EHB$ (il suo complementare) è di $45°$.
Operiamo innanzitutto una simmetria assiale dell'intero triangolo $\triangle ABC$ rispetto al lato $\overline{BC}$, si verranno a formare in particolare i punti $H'$ e $A'$.
Il trapezio $AHH'A'$ è isoscele perché la simmetria è un'isometria, dunque i quattro punti $A$, $H$, $H'$, $A'$ sono conciclici.
Traccio la circonferenza $\omega$ che li contiene; voglio dimostrare che l'intersezione di $\omega$ con il segmento $\overline{BC}$ è $E$. Questo è vero perché i punti $A,H,E,H',A'$ sono sempre a quattro a quattro conciclici in quanto gli angoli $\angle HAE$, $EAH'$, $HA'E$ e $EA'H'$ sono congruenti per ipotesi.
Visto che $\angle AEA'$ è di $90°$, $AA'$ è un diametro, e lo è dunque anche l'asse di simmetria. La circonferenza $\omega$ si ritrova dunque divisa in quattro settori congruenti ${AE}$, ${EA'}$, ${AE}$, ${A'D}$, ${DA}$.
Dunque $\angle AEB\cong \angle EHB\cong 45°$ perché angoli alla circonferenza che insistono su corde congruenti, ma sappiamo per precedente dimostrazione che $\angle EHB\cong \angle EHC$, dunque la tesi è dimostrata.