OliForum Matematico

Trovare $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tali che
$f(x+y)+f(x-y)=2f(x) \cos y$ per ogni $x,y$ reali.

$ f(x)=\sin x $
infatti :
$ \sin{(x+y)} = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
$ \sin{(x-y)} = \sin x \cos y - \cos x \sin y $

$ \sin{(x+y)} +\sin{(x-y)} = \sin x \cos y + \cos x \sin y + \sin x \cos y - \cos x \sin y $
$ \sin{(x+y)} +\sin{(x-y)} = 2 \sin x \cos y $

Non ti sembra troppo facile così? Chi ti dice che non ce ne sono altre? Non andrebbe dimostrato?
Poi vale anche $f(x)= \cos x$.


Btw-domanda stupida e offtopic- non ho mai capito se in una equazione funzionale, le funzione seno e coseno sono la stessa soluzione o no. Per esempio nell'equazione differenziale dell'oscillatore armonico le consideriamo la stessa soluzione, possiamo farlo sempre? dovremmo farlo sempre? solo nelle equazioni differenziali?

NicolasRossi ha scritto: Btw-domanda stupida e offtopic- non ho mai capito se in una equazione funzionale, le funzione seno e coseno sono la stessa soluzione o no. Per esempio nell'equazione differenziale dell'oscillatore armonico le consideriamo la stessa soluzione, possiamo farlo sempre? dovremmo farlo sempre? solo nelle equazioni differenziali?

$f(x)=\sin x$ e $g(x)=\cos x$ non sono la stessa funzione. Però le due famiglie $\{f_\theta: x \mapsto \sin(x+\theta) \mid \theta\in\mathbb{R}\}$ e $\{g_\theta: x \mapsto \cos(x+\theta) \mid \theta\in\mathbb{R}\}$ (spero si capisca la notazione) sono lo stesso insieme (perché?).

Perché$\forall\theta\in\mathbb{R}\exists\phi\in\mathbb{R} t.c. \sin \theta= \cos \phi$ e viceversa?

Quasi. Ti serve che $\forall \theta\,\, \exists \phi$ tale che $\sin(x+\theta)=\cos(x+\phi)\,\, \forall x\in\mathbb{R}$ (nota che $\phi$ non può dipendere da $x$ --- ti serve scegliere una costante di "shift" che vada bene per tutti i valori della $x$ in un colpo solo). E in particolare $\phi=\theta-\frac{\pi}{2}$ dovrebbe andare bene.

(by the way, spero che l'osservazione che quelle due famiglie sono uguali sia la risposta alla tua domanda --- altrimenti temo che dovrai spiegarmi con più precisione cos'è che il vostro professore vi dice che "sono la stessa soluzione").

Sisi, sono io che sono stupido, non avevo considerato che

an n-th order linear differential equationhas n indipendent solutions

Ok. Il dubbio che dovrebbe/potrebbe venirti ora però è: consideriamo l'equazione $y''+y=0$; tutte le funzioni del tipo $x \mapsto \sin (x+\theta)$ sono soluzioni. Non sono troppe? Non dovrebbero essere "solo due"? Volevo assicurarmi, anche a costo di andare OT, che tu avessi chiara la risposta a questa domanda...

Non sono sicuro se non ho capito la domanda o se dovrei dirti che le soluzioni dell'equazione sono delle funzioni e che $x \mapsto \sin (x+\theta)$ è solo una soluzione

Mmmh... quello che (immagino) voleva chiederti fph è in che senso le soluzioni "indipendenti" sono solo 2, visto che - per ogni valore di $\vartheta$ - la funzione $\sin(x + \vartheta)$ è una soluzione di quella equazione differenziale, ed al variare di $\vartheta$ ottieni ben più di due soluzioni (senza contare che possono essere riscalate per costanti)
Peraltro, se non ho capito male la tua ultima risposta, quello che dici è abbastanza falso: le funzioni $\sin(x + \vartheta)$ sono ben diverse l'una dall'altra, e sono tutte soluzioni.

Ok, ora mi sto confondendo un po' e tutto ciò di cui ero -quasi?- convinto crolla. Io come soluzione dell'equazione scritta da fph intendevo le funzioni $y=A*\sin x + \theta$ che al variare di $x$ e per qualsiasi $\theta$ e $A$ reali vanno bene, ma evidentemente fatico ancora a capire cosa intendiate per soluzione di un'equazione differenziale.
Va beh, io avevo dato un'occhiata a questa roba solo per trovare una spiegazione a quello che ho trovato sul libro di fisica, sicuramente ci tornerò quando avrò basi un po' più solide di Analisi.

Credo che si riferiscano al fatto che una equazione differenziale di grado $n$ ha $n$ soluzioni se abbiamo $n$ condizioni iniziali (Nel tuo caso A e $\phi$)

Sisisi, sono un cretino.
Avevo dimenticato la costante e per soluzione avevo intesto tutte le funzioni del tipo $f(\theta,A,x)=A*\sin (x +\theta)$ naturalmente senza accorgermene e considerando il $\theta$ di fph non fissato. Però poi avrei dovuto specificare rispetto a cosa derivavo etc.

Mi scuso per il tempo che vi ho fatto sprecare.

Aaalt, fermi tutti:
- un'equazione differenziale lineare di grado $n$, fissate $n$ condizioni iniziali (che vuol dire, tipicamente, il valore in un punto $a$, il valore della derivata in $a$, il valore della derivata seconda in $a$, ..., il valore della derivata $(n-1)$-esima in $a$), la soluzione ce l'ha *unica*
- funzioni diverse (che rispettino l'equazione, beninteso) sono soluzioni diverse. Punto e basta. In particolare, per valori di $\vartheta$ diversi (e che non differiscano di multipli di $2\pi$), le funzioni $\sin(x+\vartheta)$ sono soluzioni diverse.
- l'equazione $y''+y=0$ ha come soluzioni tutte e sole quella forma $A\sin(x)+B\cos(x)$ con $A,B$ costanti reali
- quello a cui fph ed io stavamo cercando di farvi arrivare (forse maldestramente?) è che le funzioni $\sin(x+\vartheta)$ sono di quella forma per via dell'identità $\sin(x+\vartheta)=\cos(\vartheta)\sin(x)+\sin(\vartheta)\cos(x)$ (in particolare prendendo $A=\cos(\vartheta), B=\sin(\vartheta)$, che sono costanti)

In tutto questo, c'è ancora il problema di trovare tutte le soluzioni dell'equazione iniziale!

Quindi volevate dire che dire $\sin (x+\vartheta )$ è equivalente alla scrittura $A\sin x +B\cos x $e viceversa (per opportuni valori delle costanti) e che quindi sono la stessa soluzione?
Chiedo scusa se ho peggiorato la situazione con un post impreciso