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Per quali valori di $n\in \mathbb N$,$n^4+n+7$ è un quadrato perfetto?

Chiaramente $n^4+n+7>n^4=(n^2)^2$ per ogni $n\in\mathbb{N}$.
Voglio trovare per quali $n$ si ha:
$$n^4+n+7<(n^2+1)^2$$
Sviluppo quindi il RHS e semplifico i monomi simili, ottenendo:
$$2n^2-n-6>0$$
Questa curva (sui reali ) è una parabola convessa, ed è dunque positiva per valori esterni alle radici.
$$n_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+48}}{4}=+2 \lor -\frac{3}{2}$$
Quindi la disuguaglianza scritta vale per ogni $n>2$.
Dunque, per $n>2$, $n^4+n+7$ è strettamente compreso fra due quadrati consecutivi, e dunque non può essere un quadrato.
Se $n\leq2$, basta sostituire:
$1^4+1+7=3^2$ verifica!
$2^4+2+7=5^2$ verifica!
E dunque tutte e sole le soluzioni sono $(1,3)$ e $(2,5)$

Direi che è giusta Credo ti manchi da controllare $n=0$ (o più probabilmente lo hai fatto ma non lo hai scritto), ma il procedimento è giusto e alla fine le soluzioni sono quelle