OliForum Matematico

Trovare tutti gli interi $n$ tali che esistono interi positivi $a,b,c$ che verificano
$$\frac{a^2+b^2+c^2}{abc+1}=n.$$

Non so se il procedimento è corretto. L'aria che tira tantissimo è Vieta Jumping e allora uno intanto dice che $n>0$ e comincia a fare i primi conti

$$a^2-nabc+b^2+c^2-n=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Sia $p(x)=x^2-xnbc+b^2+c^2-n$

Fisso $n$ e sia $(a,b,c)$ una soluzione dell'equazione (1) precedente con $a \geq b \geq c$ e soprattutto $a+b+c$ minimo. Banalmente $p(a)=0$ e dato che $p(x)$ è un polinomio monico a coefficienti interi con una soluzione intera, anche l'altra è intera e la chiamo $\bar{a}$. Ora dato che $(\bar{a},b,c)$ è una terna che soddisfa il testo, ovviamente $\bar{a} \geq 0$

Se $\bar{a}=0$ è perchè il termine noto di $p(x)$ è uguale a 0, cioè $n=b^2+c^2$. Effettivamente per questi interi trovo sempre una coppia che soddisfa: $(bc(b^2+c^2),b,c)$, quindi da ora $\bar{a}>0$.

Suppongo $n>2$. ora il claim è avere $\bar{a}<a$. In effetti se $\bar{a}<a$ ho trovato una terna più piccola, che è assurdo.

In questo caso, ne la somma ne il prodotto sembrano funzionare, proviamo con le soluzioni in carne e ossa, e suppongo per assurdo che $\bar{a} \geq a$ quindi

$$2b \leq 2a=nbc-\sqrt{(nbc)^2-4(b^2+c^2-n)}$$ e facendo i conti ottengo $-4(b^2+c^2-n) \leq 4b^2-4b^2nc$ oppure $b^2+c^2-n \geq b^2nc -b^2$ oppure $b^2(nc-2) \leq c^2-n$ e dato che $c^2-n<c^2 \leq b^2$ ho che $b^2(nc-2) <b^2$ oppure $b^2(nc-3)<0$ cioè $nc < 3$ che da $n < 3$, assurdo.

Ora il caso $n=2$ si fa facilmente, basta porre $(a,b,c)=(2,1,1)$.

Per $n=1$. Sia $(a,b,c)$ una terna bla bla bla.. esiste $\bar{a}$ intero positivo etc etc.
Se $\bar{a}<a$ ho costruito una terna più piccola, no, quindi $\bar{a} \geq a$ e riepilogando gli stessi conti ottengo $c<3$ che è assurdo perché con $c=1$ ho il classico trinomio $a^2-ab+b^2=0$ e con $c=2$ ho $(a-b)^2=-3$.


Riepilogando, i numeri nella forma $n=b^2+c^2$ soddisfano (e includono anche $n=2$)

scambret ha scritto:Ora dato che $(\bar{a},b,c)$ è una terna che soddisfa il testo, ovviamente $\bar{a} \geq 0$

Sei sicurissimo fes? Perché magari è vero però non mi sembra così banale...

Boh mi sembra che dato che $n>0$ e il numeratore è positivo deve essere $\bar{a}bc+1>0$.

Dalla tua dimostrazione non si capisce una cosa: e.g., $49$ è una soluzione?

Eh credo di no dato che $n=b^2+c^2$ con b,c strettamentr positivi sono rappresentabili (secondo me)

Allora, bene: la fonte del problema è questa