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Dimostrare che \(\varphi(n) \cdot \tau(n) < n^2\), dove \(\tau(n)\) è la somma dei divisori di \(n\), e che per ogni costante positiva \(k \in \mathbb{N}\) esistono infiniti \(n\) tali che \(n^2-k \le \tau(n) \phi(n)\).

N.B. Si usano solo fatti elementari, cioè niente approssimazioni orrende o cose simili

Non mi pare molto corretto, se con $f(x) \sim g(x)$ si intende $f(x)=g(x)(1+o(1))$ quando $x \to \infty$.

Il seguente risultato, piu' debole, è pero' vero (è la chiave per mostrare questo):

Esistono due costanti positive $\alpha,\beta$ tali che $\alpha n^2 \le \varphi(n) \sigma_1(n) \le \beta n^2$ per ogni intero positivo $n$.

Ecco, l'ho editato. Anche se effettivamente come lo hai scritto tu è meglio!

In breve, potresti scrivere $\varphi(n) \sigma_1(n)= \Omega(n^2)$

Dimostriamo prima che $\phi (n) \cdot \tau (n)<n^2$ per ogni naturale.
Lemma: $\phi (p^a)\cdot \tau (p^a)<p^2 \qquad p\in \mathbb P$
Svolgendo otteniamo
$$p^{a-1}(p-1)\cdot \frac {p^{a+1}-1} {p-1} =p^{a-1}\cdot (p^{a+1}-1)=p^{2a}-p^{a-1}<p^{2a}$$ che è la tesi.

Ricordandoci della moltiplicatività di $\phi$ e $\tau$ ,possiamo applicare il lemma ad ogni primo che è contenuto nella fattorizzazione di $n$, ottenendo la tesi: imfatti a destra otteniamo tutti i prodotti dei quadrati dei primi elevati al rispettivo esponente, mentre a sinistra abbiamo tante quantità ciascuna minore di ogni quadrato del rispettivo primo elevato al proprio esponente.

Dimostriamo ora che per ogni $k$ abbiamo infiniti $n$ tali che $n^2-k\le \phi (n)\tau (n)$
Notiamo che per $n$ primo $\phi (n)\tau (n)=n^2-1$
Sostituendolo nell'equazione iniziale otteniamo $k\ge 1$ , che è vera per ogni $k$ positiva. Inoltre esistono infiniti $n$ che soddisfano le ipotesi in quanto esistono infiniti primi

@jordan: cosa intendi con $\Omega$? Perché se è quella che fa la somma degli esponenti, mi sa che non torna qualcosa...

Mmh hai ragione! Intendevo quel simbolo doppiamente ondulato, lo metto appena lo trovo..

Triarii, ora dimostra che esiste una costante positiva $\alpha$ tale che $\varphi(n)\sigma_1(n)\ge \alpha n^2$ per ogni $n$ intero positivo..

Hinto la migliore costante, magari vi fa venire in mente qualcosa... Ma si fa tranquillamente anche con $1/2$...