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Sia $ABC$ un triangolo, $P$ un punto su $BC$, $Q$ un punto su $AC$,e $X,Y$ i punti di intersezione delle circonferenze aventi come diametro $AP$ e $BQ$. Dimostrare che $X$,$Y$ e l'ortocentro di $ABC$ sono allineati

Detto $H$ l'ortocentro di $ABC$, $\Gamma$ la circonferenza di diametro $AP$ e $\omega$ la circonferenza di diametro $BQ$, traccio le altezze $AH$ e $BH$, che incontrano i lati opposti rispettivamente in $P_a$ e $P_b$. Si ha che $P_a$ e $P_b$ appartengono rispettivamente alla circonferenza $\Gamma$ e $\omega$ perchè vedono i diametri sotto un angolo di $90^\circ$.
Pertanto la potenza $P_1$ di $H$ rispetto a $\Gamma$ vale $AH \cdot HP_a$, quella $P_2$ di $H$ rispetto a $\omega$ vale $BH \cdot HP_b$.
La tesi equivale a dimostrare che $H$ si trova sull'asse radicale delle due circonferenze, quindi si deve avere $P_1=P_2$.
Considerando il quadrilatero ciclico ($P_a$ e $P_b$ vedono $AB$ sotto lo stesso angolo) $ABP_aP_b$ e la sua circoscritta $C_1$, si ha che la potenza di $H$ rispetto a $C_1$ vale $AH \cdot HP_a$ o anche $BH \cdot HP_b$, pertanto si ha $P_1=P_2$.