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Ho una funzione convessa \(f: I \rightarrow \mathbb{R} \) su un insieme convesso \(I \subseteq [a,b]^m\). Dubbi:
1. I punti estremali sono tutti e soli quelli con qualche \(a\) e tutti gli altri \(b\)?
2. Se so che \(f\) assume il massimo in un punto non estremale, posso concludere che \(f\) è lineare?

In particolare, fissati \(k,n\), io ho \(I = \{ (a_1, \ldots, a_m) \in \mathbb{N}_0^m: \ \ a_1+ \ldots + a_m = k,\ \ 1 \le a_i \le n \ \ \forall \ \ 1 \le i \le m\}\). Non so se può influire sulle domande che ho fatto. Grazie!

Allora, cosa intendi per punti estremali? E poi, l'insieme che definisci alla fine non è convesso: è fatto da un numero finito di punti.

Per quanto riguarda (2), la risposta è no. Prendi $I=[0,1]^2$ e la funzione $(x,y) \mapsto x^2$. Uno dei punti in cui assume massimo è $(1,1/2)$.