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Trovare il piu' piccolo $k$ tale che comunque siano fissati degli interi $x_1,\ldots,x_k$ esistono sempre $i,j$ distinti di modo che $x_i^2$ e $x_j^2$ terminano con le stesse due cifre.

$ 23 . ? $

Esatto, capiti a pennello, come lo dimostri?

Se $n$ è il numero complessivo delle possibili coppie diverse tra loro con cui può terminare il quadrato di un qualsiasi numero intero, ciò significa che considerando almeno $ n+1$ quadrati di numeri interi avremmo sicuramente almeno un doppione nelle ultime 2 cifre.
Quindi $k=n+1$

Per dimostrare che $n=22$ ahimè non ho ancora potuto usare tecniche di aritmetica modulare .... Ma ho riesumato vecchi scarabocchi fatti qualche giorno fa attorno al quesito su $ax^p+by^p$ con $p=2$ , e ho ritrovato che 18 dei quadrati dei primi 20 numeri interi hanno diverse tra loro le coppie delle ultime due cifre . E questo ho notato accadere anche considerando i numeri 21, 22, 23, 24 . (In totale : $n=22$ coppie diverse tra loro , e $k=n+1=23$ ) .

Va notato che le ultime 2 cifre si ricavano da $(10d+u)^2$ , e in particolare da $20d+u^2$ (con d e u interi compresi fra 0 e 9) .
E invece che spuntare i quadrati degli altri interi fino a 99 si può poi considerare che anche $[(10d-50)+u]^2$ si riporta a $20d+u^2$ ; e questo comporta che si ripercorrono le stesse 2 ultime cifre anche elevando al quadrato gli altri numeri della terza, quarta,...,decima decina.

Non ci piove che è giusto (apparte il $20d+u^2$...); d'altra parte hai dovuto calcolare almeno $50$ quadrati per ottenere questo risultato; conosci un metodo piu' "efficiente"?

Questo potrebbe risultarti utile

Sì, è vero : la $u$ del $20du + u^2$ mi è rimasta nella penna , o meglio nelle dita , durante la digitazione degli appunti a matita.

( Non deve proprio essere un caso che la mia sinfonia preferita è L' Incompiuta di Shubert .... )

Quanto ai conti a mano .. dopo averli fatti da $31^2$ a $42^2$ (che risultavano riconducibili ai quadrati dei primi interi negativi) , mi son fermato
per cercare la formuletta sciocca dell’ $20(d-50)+u$ .
Ma è chiaro che ero avvantaggiato dall’ aver già sottomano i primi 20 quadrati e dall’aver rinfrescato recentissima confidenza con i vari $(10d+u)^2$ .
Pur tuttavia è evidente che si tratta di un metodo assai “palloso” …

Giusto. Penso avrai sentito parlare qualche volta del TCR: prova ad applicarlo qui