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Siano $a_1;...;a_n$ le misure dei lati di un poligono chiuso finito. Dimostrare che $(\sum_{i=1}^{n} a_i)^2 \ge 2\sum_{i=1}^{n}a_i^2$.

Condizione necessaria affinchè il poligono sia chiuso è $a_t\le \sum_{i=1,1\ne t} ^n a_i$ per ogni $t$. Il segno di uguale vale solo se il poligono è degenere.
Vale $(\sum_{i=1}^n a_i)^2=\sum_{i=1}^n a_i^2+\sum_{j=1}^n (a_j\cdot \sum_{i=1,i\ne j}^n a_i)\ge \sum_{i=1}^n a_i^2+\sum_{j=1}^n a_j^2=2\sum_{i=1}^n a_i^2$ che è la tesi. Abbiamo usato la condizione necessaria del poligono nella disuguaglianza.
Il segno di uguale vale solo nei poligoni degeneri con tutti i lati nulli o dove compare al più un prodotto nel quadrato della sommatoria pari a alla somma dei quadrati, che avviene solo se i lati sono uguali (altrimenti non è mai uguale alla somma dei quadrati: ogni termine del prodotto che resta ,dopo aver sostituito wlog $a_n$ come la somma dei restanti e dopo aver svolto il conto, maggiora il rispettivo quadrato). Ricapitolando, il segno di uguale avviene solo se al più 2 lati sono non nulli ed essi sono uguali.
Edit: ho cercato di spiegare meglio l'ultima parte sull'uguale (probabilmente fallendo miseramente)

Bene!