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Una commissione deve assegnare una borsa di studio scegliendo tra due candidati: Paolo e Francesca. Il concorso consiste in una prova scritta che comprende n problemi. Ogni problema può essere valutato “risolto”,oppure ”non risolto”, senza gradazioni intermedie. Il candidato che risolve il maggior numero di problemi ottiene la borsa di studio; in caso di parità la commissione“tira la monetina”, scegliendo con uguale probabilità tra i due candidati. Il giorno del concorso la preparazione di Paolo gli permette di risolvere ogni problema con probabilità di 1/2, mentre quella di Francesca gli consente
di risolvere ogni problema con probabilità 2/3.
(a) Nel caso n = 1, determinare la probabilità che Paolo vinca
la borsa di studio.
(b) Nel caso n = 2, determinare la probabilità che Francesca
vinca la borsa di studio.
(c) Dimostrare che, nel caso in cui vengono assegnati n problemi, la commissione dovrà ricorrere alla monetina con probabilità strettamente maggiori i (1/2)n.

Io ho risolto solo l'a)..il b) non mi viene e per il c) se n>2 avremmo una probabilità maggiore di 1 che mi sembra impossibile

(a) Paolo vince se risolve il problema e francesca no, oppure se entrambi lo risolvono e a lui va di culo, oppure nessuno ne risolve alcuno e a lui va di culo. Alias:
$$ P = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{3} + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{5}{12} $$

(magari ho sbagliato i conti eh!)

(b) Quando è che vince francesca? Quando li risolve entrambi e Paolo ne risolve 1 o nessuno, quando ne risolve 1 e paolo non ne risolve nessuno, oppure quando ne risolvono nello stesso numero e a lei va di culo. Tradotto: tanti tanti tanti casi diversi, divertimento assicurato!

(c) Che probabilità è "i (1/2)n" ?

per la (c) non ti posso dire nulla :il testo lo ho trovato scritto così e non lo capisco neanche io...

Uhmmmm... Non è che il testo sia stato trascritto male e la n fosse ad esponente?

Si, è \( (1/2)^n\). Chiamiamo \(p(n)\) la probabilità che con \(n\) quesiti entrambi azzecchino lo stesso numero di risposte, e \(v(n,h)\) la probabilità che con \(n\) quesiti entrambi azzecchino \(h\) risposte. Valgono:
1. \(\displaystyle p(n) = \sum_{h=0}^n v(n,h)\)
2. \( \displaystyle v(n,h) > v(n-1,h-1) \frac{1}{2} \frac{2}{3} + v(n-1,h) \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{v(n-1,h-1)}{3} + \frac{v(n-1,h)}{6}\): i due termini rappresentano quando "ehi prima ne avevamo azzeccate \(h-1\) adesso ne abbiamo azzeccata un'altra" e "ehi già al turno prima ne avevamo azzeccate \(h\)". C'è il maggiore perchè mancano i casi in cui uno dei due ne aveva già prese \(h\) e l'altro stava ad \(h-1\).
La ricorrenza ha come soluzione \( v(n,h) > \binom{n}{h} \left ( \frac{1}{3} \right )^{h} \left ( \frac{1}{6} \right )^{n-h} \) (provare per credere), da cui otteniamo
\(\displaystyle p(n) > \sum_{h=0}^n \binom{n}{h} \left ( \frac{1}{3} \right )^{h} \left ( \frac{1}{6} \right )^{n-h} = \left (\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \right )^{n} = \left ( \frac{1}{2} \right )^{n}\),
che è la tesi ( o quella che congetturiamo tale).