credo fosse "valutazioni p-adiche" (letto piadiche), ma non mi sembra il caso di parlare così difficile... basta ragionare un pochino:
diciamo che vogliamo sapere quale esponente ha $2$ nella fattorizzazione di $n!$, allora la prima cosa che ci viene in mente è
- quanti numeri divisibili per $2$ compaiono nel prodotto $n!=1\cdot\ldots\cdot n$?
e qui è facile, perché è la parte intera di $n/2$, ovvero $[n/2]$.
Poi però ci si accorge che, ad esempio, $4$ contribuisce con 2 fattori 2 e quindi per ogni multiplo di 4 che incontriamo dobbiamo contare un altro fattore 2, al che ci domandiamo
- quanti numeri divisibili per $4$ compaiono del prodotto $n!$ ?
e la risposta è ancora facile: $[n/4]$.
Ora dobbiamo guardare i multipli di 8, che danno ancora un fattore $2$ in più e poi i multipli di 16 e così via. Quindi alla fine quanti $2$ compaiono nel prodotto $n!$?
Beh i 2 dei pari + i secondi 2 dei multipli di 4 + i terzi 2 dei multipli di 8 + ...
ovvero
$$[n/2]+[n/4]+[n/8]+\ldots + [n/2^k]$$
dove k è (l'unico intero) tale che $2^k\leq n < 2^{k+1}$.
Quindi, nella fattorizzazione di $n!$, l'esponente di $2$ è dato da $[n/2]+[n/4]+[n/8]+\ldots + [n/2^k]$ (dove $2^k$ è la più grande potenza di 2 che sia minore od uguale a $n$).
Ora credo tu intuisca (e ti invito però a scrivere questa tua intuizione) come si ricavano gli altri esponenti.
Noiosa nomenclatura snobbista
Dati un numero naturale $n$ ed un numero primo $p$, la
valutazione p-adica di $n$ si indica con $v_p(n)$ ed è il numero naturale $h$ tale che $p^h$ divide $n$, ma $p^{h+1}$ non divide $n$ (si dice allora che $p^h$ divide
esattamente $n$ e si scrive $p^h\parallel n$).
La fattorizzazione unica di un numero $n$ si può scrivere come
$$n=2^{v_2(n)}\cdot 3^{v_3(n)}\cdot 5^{v_5(n)}\cdot\ldots$$
con un prodotto che, sulla carta, è infinito (perché devono comparire tutti i primi), ma in pratica solo un numero finito di fattori conta, in quanto, se $p>n$, $v_p(n)=0$ e dunque $p^{v_p(n)}=1$.
La formula di
de Polignac dice che
$$v_p(n!)=\sum_{h=1}^{\infty}\left[\dfrac{n}{p^h}\right]$$
ed anche qui la somma sembra infinita, ma non appena $h>\log_p(n)$ (ovvero non appena $p^h>n$), si ha che $0<n/p^h<1$ e dunque la sua parte intera è 0, dunque c'è solo un numero finito di termini in quella somma. La dimostrazione è il ragionamento che ho scritto sopra.