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Ecco 3 problemi che si possono risolvere, tra il resto, con una sagace applicazione del concetto di rotomotetia (o similitudine a spirale).

Problema 1: Sia $ABCDE$ un pentagono convesso tale che $\angle BAC=\angle CAD=\angle DAE$ e $\angle CBA=\angle DCA=\angle EDA$. Sia $P$ l'intersezione di $BD$ e $CE$. Dimostrare che $AP$ biseca il lato $CD$.
Hint Problema 2: Sia $ABCD$ un quadrilatero e siano $E$, $F$ punti su $AD$ e $BC$ tali che $AE/ED=BF/FC$. La retta $FE$ incontra le rette $AB$ e $CD$ in $S$ e $T$. Dimostrare che le circonferenze circoscritte a $SAE$, $SBF$, $TCF$ e $TDE$ passano per uno stesso punto.
Hint Problema 3: Sia $ABCD$ un quadrilatero convesso con $BC=AD$ e non paralleli tra loro. Siano $E$ ed $F$ su $BC$ ed $AD$ tali che $BE=DF$. $AC$ e $BD$ si incontrano in $P$, $BD$ e $EF$ si incontrano in $Q$, $EF$ ed $AC$ si incontrano in $R$. Al variare di $E$ ed $F$ con le proprietà specificate, si dimostri che le circonferenze circoscritte ai triangoli $PQR$ passano tutte per uno stesso punto.
Hint
Nota Bene: Oltre ad essere ragionevolmente istruttivi (e ragionevolmente fattibili anche senza rotomotetie, ma con qualche fatica in più) e di livello internazionale, questi problemi sono, imho (la h è lì solo perché di solito ci va...), casi abbastanza "tipici" di situazioni in cui è possibile costruire una rotomotetia e utilizzarla per ottenere risultati (trasporto di angoli e rapporti tra segmenti). In particolare, punti che dividono segmenti nello stesso rapporto o che staccano segmenti uguali sono un buon indizio, oppure caterve di angoli uguali.

EvaristeG ha scritto:Problema 1: Sia $ABCDE$ un pentagono convesso tale che $\angle BAC=\angle CAD=\angle DAE$ e $\angle CBA=\angle DCA=\angle EDA$. Sia $P$ l'intersezione di $BD$ e $CE$. Dimostrare che $AP$ biseca il lato $CD$.

Si può avere qualche hint per delle soluzioni senza rotomotetia? Qualcuno l'ha risolto senza?

visto che, a vedere il forum, nessuno ha trovato quelle "con" ...

Dò per scontato il lemma che sta nel glossario e che è linkato nei vari hint.
2) 3) Spero solo di non aver fatto errori... :S

Edit: avevo letto male le lettere sulla mia figura. Le soluzioni vanno bene, anche se sono scritte con i piedi (un punto non è una trasformazione ... non dici "$P$ è una omotetia che manda..." ma "esiste un'omotetia di centro $P$ che manda...").

Per quanto riguarda il farli senza trasformazioni... oppure