OliForum Matematico

Domande (I suppose) stupide:
1) quando usiamo le baricentriche o i $\mathbb{C}$omplessi e tutte le formule per aree, distanze e cose varie, vanno dimostrate prima a parte?
2) se abbiamo un punto P che non appartiene a una conica, applicando la formula di sdoppiamento in coordinate baricentriche alla suddetta conica, perché troviamo la polare?
3) in baricentriche, se abbiamo due circonferenze tangenti internamente, conosciamo una circonferenza completamente e dell'altra sappiamo due dei tre reali che la contraddistinguono, c e un modo per determinare il terzo reale?
Thanks

1) se sono formule "standard" (nel senso che si vedono spesso e più o meno sempre uguali nelle varie dispense o cose simili) no, se hanno un nome no
2) la domanda a monte è "cos'è la polare per una conica"? ed una volta che hai risposto a questo, "la proprietà di essere retta polare è invariante per proiettività?" e poi "tramite proiettività posso portare qualunque conica *vera* in $x^2+y^2-z^2=0$?" A questo punto devi dimostrare la cosa per la circonferenza unitaria e un punto $(x,0)$...
3) imponi la tangenza, ovvero che l'asse radicale delle due (la differenza tra le due equazioni opportunamente normalizzate) sia tangente ad una delle due (e quindi all'altra, no?), dopo di che dipende da quante soluzioni trovi ... se è una, hai vinto, se sono due hai un problema noioso e contoso...

1) thanks
2) thanks
3) l'avevo pensata una cosa del genere.. io volevo imporre che i due centri e il punto P di tangenza fossero allineati.. ma la strada tua è certamente più semplice.. thanks

Un'altra domanda. La mappa che manda baricentriche in trilineari è qualcosa del tipo $P_{\mathrm{bar}} [ax:by:cz] \to P_{\mathrm{tri}} [x:y:z]$ con le ovvie condizioni.

Sappiamo che $\Gamma: a^2yz+b^2zx+c^2xy-(x+y+z)(ux+vy+wz)=0$ in baricentriche. Ora in trilineari basta applicare la mappa di sopra, fare i conti e semplificare il semplificabile per ottenere un'espressione.

In altre parole, tutte le formule che valgono in baricentriche valgono in trilineari "riscalate", vero?

[OPS: ho usato u,v,w senza vedere che li avevi già usati tu ... i miei sono un'altra cosa, obviously]

E' un cambio di coordinate, tutto qui. Quello che mi turba è che non è proprio come l'hai detta tu: per trasformare un'equazione, il cambio di coordinate va applicato al contrario.

Esempio: supponiamo di avere le classiche coordinate cartesiane $x,y$ e un'ellisse tipo $10x^2+2xy-6x+5y^2-2y-2 = 0$; un tizio passa di lì e ci dà le coordinate $u=x-2y$ e $v=3x+y-1$ chiedendoci quale sia l'equazione della stessa ellisse nelle nuove coordinate. Quindi dobbiamo ricavare $x=(u+2v+2)/7$ e $y=(-3u+v+1)/7$ e sostituire, ottenendo dopo molta fatica $u^2+v^2=3$. (e qui ti domandi quante ne sa il tizio che passa di lì).

Quindi, se $u : v : w$ sono coordinate baricentriche, allora le trilineari sono $x=u/a$, $y=v/b$, $z=w/c$. Dunque, se $a^2vw+b^2wu+c^2uv-(u+v+w)(pu+qv+rw)=0$ è la nostra circonferenza in baricentriche, per passare in trilineari basta sostituire le formule inverse: $u=ax$, $v=by$, $w=cz$ da cui
$$a^bcyz+b^2acxz+c^2abxy-(ax+by+cz)(apx+bqy+crz)=0$$
ovvero
$$ayz+bxz+cxy-\left(\dfrac{x}{bc}+\dfrac{y}{ac}+\dfrac{z}{ab}\right)(apx+bqy+crz)=0$$

Mmmh d'accordo grazie