$pqr-p-q-r=2000$
Inviato: 16 gen 2014, 22:19
Trovare tutti i primi $p,q,r$ tali che la differenza tra il loro prodotto e la loro somma è $2000$.
Supponiamo $p,q,r$ dispari. Allora tra essi ce ne possono essere congrui a 1 e a -1 $\pmod 4$. Supponiamo ce ne siano $n$ congrui a $-1$.
Abbiamo $LHS \equiv (-1)^n -(-n) -(3-n) \equiv (-1)^n -2n +1 \pmod 4$. Sia che $n$ sia pari sia che $n$ sia dispari questa quantità è congrua a 2 $\pmod 4$, assurdo.
Supponiamo quindi che uno dei primi sia pari, sia quindi WLOG $r=2$-
Abbiamo quindi
$2pq -p-q -2 = 2000$ moltiplico per 2 e ottengo
$4pq -2p-2q +1 =4005$
$(2p-1)(2q-1) = 3\cdot 3 \cdot 5 \cdot 89$
Ora $RHS \equiv 1 \pmod 4$, quindi i fattori a destra sono entrambi $\equiv 1$ o $\equiv 3 \pmod 4$. Ma se fossero entrambi congrui a 3 dovrebbe essere p e q pari, ma $p=q=r=2$ non è soluzione; quindi $2p-1\equiv 2q-1 \equiv 1 \pmod 4$. Siccome tra i fattori a destra abbiamo due primi congrui a 3 e due congrui a 1 modulo 4, allora entrambi i 3 devono appartenere allo stesso fattore. Supponiamo quindi WLOG che $9\mid 2p-1$.
Abbiamo quattro casi:
$2p-1 = 9$ e $2q -1 = 445$, da cui $p=5$ e $q = 223$
$2p-1=45$ e $2q-1=89$, ma $q=45$ non è primo
$2p-1=801$ e $2q-1=5$, da cui $p=401$ e $q=3$
$2p-1=4005$ e $2q-1=1$, ma $q=1$ non è primo.
Le soluzioni sono quindi le terne $(2,5,223)$ e $(2,3,401)$ più tutte le loro permutazioni.
