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Siano dati dei reali positivi $a,b,c,d$. Mostrare che
$$2(ab + cd)(ac + bd)(ad + bc) \ge (abc + bcd + cda + dab)^2$$

Metodo alquanto brutto: dopo aver notato che la disuguaglianza è simmetrica in $a,b,c,d$ facendo i conti otteniamo

 $\displaystyle 2\sum_{cyc} a^3bcd +2\sum_{cyc} a^2b^2c^2 \ge \sum_{cyc} a^2b^2c^2 + \frac 12 \sum_{sym} a^2b^2cd$

Trasformando tutto in somme simmetriche otteniamo

$\displaystyle \frac 13 \sum_{sym} a^3bcd + \frac 16 \sum_{sym} a^2b^2c^2 \ge \frac 12 \sum_{sym}a^2b^2cd $

Ma per bunching abbiamo che
$\displaystyle \sum_{sym} a^3bcd\ge \sum_{sym}a^2b^2cd, \qquad \sum_{sym} a^2b^2c^2 \ge \sum_{sym}a^2b^2cd$

Sommando le due equazioni moltiplicate rispettivamente per $\dfrac 13, \dfrac 16$  otteniamo la tesi.