88. Disuguaglianza vampiresca

[spugna]

Sia $x^n+ax^{n-1}+bx^{n-2}+cx^{n-3}+... \in \mathbb{R}[x]$ un polinomio di grado $n \ge 3$ avente tutte le radici reali e positive

Dimostrare che $a^3-3ab+3c<0$

[karlosson_sul_tetto]

Il numero di radici reali è $n$ oppure non si sa il numero di radici reali?

[spugna]

No sono tutte reali (a parte che lo avevo scritto ) l'ho scritto così perché mi scocciava scrivere tutte le somme e i prodotti tra radici XD

[Triarii]

Siano $t_1,...,t_n$ le $n$ radici dell'equazione. Per semplicità indicheremo con $q$ la somma di tutti i possibili prodotto fra radici nella forma $t_i^2t_j$ con $i\ne j$, con p_2 la somma di tutti i prodotti nella forma $t_it_j$ con $i\ne j$ e con $p_3$ la somma di tutti i prodotti nella forma $t_it_jt_l$ con $i\ne j\ne l$
Dalle relazioni radici-coefficienti valgono $a=-\sum_{i=1}^n t_i \qquad b=p_2 \qquad c=-p_3$
Calcoliamoci i vari termini che compaiono nella tesi.
Abbiamo grazie al teorema multinomiale che $a^3=-\sum_{i=1}^nt_i^3 +3q+6p$
$-3ab=-3(-\sum_{i=1}^n t_i)\cdot p_2=3(q+3p_3)$. Infatti la somma per i prodotto a 2 a 2 dà luogo sia a tutti i prodotti t_i^2t_j (e ogni singolo termine compare solo una volta visto che è possibile scegliere univocamente il prodotto a 2 a 2 e il termine di primo grado appartenente alla somma per creare quel particolare termine) sia a tutti i prodotti a 3 a 3, contati 3 volte perchè può essere creato in 3 modi diversi (esempio per capirci: $t_1t_2t_3$ lo posso fare sia prendendo $t_1$ e poi $t_2t_3$, che come $t_2$ e poi $t_1t_2$ e infine com $t_3$ e $t_1t_2$
$3c=3p_3$ per la definizione sopra.
Sommando tutti i termini e semplificando otteniamo che
$$a^3-3ab+3c=-\sum_{i=1}^n t_i^3<0$$
dove nell'ultima disuguaglianza abbiamo usato il fatto che ogni $t_i^3>0$ in quanto ogni radice è positiva
Questo conclude la dimostrazione

[spugna]

I miei problemi sopravvivono sempre a lungo XD vai pure